Macierz dołączona – macierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).
Wykazuje ona duży związek z wyznacznikiem danej macierzy, wiążąc wiele wzorów go wykorzystujących, np. rozwinięcie Laplace’a (w tym rekurencyjny wzór na wyznacznik), wzory Cramera (w tym wzór na macierz odwrotną[a]), twierdzenie Cauchy’ego dla wyznaczników, twierdzenie Cayleya-Hamiltona (i jego uogólnienie: lemat Nakayamy).
- Niżej rozważa się macierze o elementach z ciała; wszystkie poniższe wyniki przenoszą się wprost na macierze nad pierścieniem przemiennym[b].
Zobacz też: minor.
Definicja macierzy dołączonej opiera się na pojęciu dopełnienia algebraicznego elementu
danej macierzy kwadratowej
stopnia
definiowanego jako minor
(tzn. wyznacznik podmacierzy) stopnia
powstały z usunięcia
-tego wiersza oraz
-tej kolumny macierzy
pomnożony przez
Dopełnienie algebraiczne elementu
macierzy
będzie oznaczane dalej symbolem
tzn.
![{\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}\det {}_{ij}\ \mathbf {A} .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fb81ec04d670d78eced3be35aa7535089aa5b0)
Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy
nazywa się macierz
złożoną z dopełnień algebraicznych elementów
tej macierzy. Macierzą dołączoną
do macierzy
nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=[A_{ij}]^{\mathrm {T} }=[A_{ji}].}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ce0b75e6ea882a584c52f2bcd98c57d131afa8)
Jeśli
i
są macierzami kwadratowymi stopnia
a
oznacza macierz jednostkową tego samego stopnia, to
![{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {D} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {D} }\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb4115155b6c0006012f6c4d344923c0c0fea1d)
oraz
![{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\right)^{\mathrm {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {D} }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81c086949a10ddf2bea0aeb3b503c8c5b74d29f)
i dodatkowo
![{\displaystyle \mathbf {I} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {I} .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097c8488f6ae08b7cf08dfaed0f1bf06604ac231)
- Wzór permutacyjny na wyznacznik i rozwinięcie Laplace’a
Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy
stopnia
![{\displaystyle \det \mathbf {A} =\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )\ a_{1\sigma _{1}}\dots a_{n\sigma _{n}},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5229aa99b21fdd81cb7cc7d0a4cbea1685f4a0e)
przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru
początkowych dodatnich liczb całkowitych (tzn. po elementach grupy permutacji
), zaś
oznacza znak permutacji
równy
gdzie
oznacza liczbę inwersji tej permutacji, wynikają wzory będące przedstawieniami wyznacznika w postaci kombinacji liniowej elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.
![{\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{i1}A_{i1}+\ldots +a_{in}A_{in}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ab6a07c5c305a0d7381a3c29d7f65b4d4e381d)
bądź
![{\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{1j}A_{1j}+\ldots +a_{nj}A_{nj},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b22600b843e42af71896769e38ba377352a7c9c1)
gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy
względem jej
-tego wiersza, a drugi – względem jej
-tej kolumny.
Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).
- Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną
Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace’a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy
umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy
Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6167bd017a197752ece986d5f04ffca8964f2ba)
Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej
z macierzą odwrotną
(definiowaną wzorem
) do macierzy
Jeśli
jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn.
to
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edf7669812b2a84049f11947162f6f65e5c1343)
Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace’a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy
we „wzorze podstawowym”.
- Twierdzenie Cauchy’ego
„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy’ego:
![{\displaystyle \det(\mathbf {AB} )\mathbf {I} =\mathbf {AB} (\mathbf {AB} )^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} \left(\mathbf {BB} ^{\mathrm {D} }\right)\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathbf {A} (\det \mathbf {B} )\mathbf {I} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=(\det \mathbf {B} )\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=(\det \mathbf {A} )(\det \mathbf {B} )\mathbf {I} ,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3d10121698682ef2be6d77ed6bf6f185fd3d56)
gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy (albo z przemienności macierzy skalarnych z pozostałymi macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia), skąd
![{\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det \mathbf {A} \det \mathbf {B} .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5440310ba53bc0c852aab706c628dfffabcebc)
Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej
wynika
czyli
![{\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)=\left(\det \mathbf {A} \right)^{-1}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1027560bfc9821aa28e4b27b620f27cefc057af)
Ponieważ
to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika
![{\displaystyle \det \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\det {\big (}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}{\big )}=(\det \mathbf {A} )^{n}(\det \mathbf {A} )^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{n-1}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9e2c6c49e200f31b76e7981d81bf15c11264c1)
- Wzory Cramera
Osobny artykuł: wzory Cramera.
Jeśli
to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez
daje
skąd
![{\displaystyle \mathbf {X} ={\frac {\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\mathbf {B} }{\det \mathbf {A} }},}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a41e1552f0d3523d21c286a8161f41476137c22)
o ile tylko
Elementy macierzy
nazywane są właśnie wzorami Cramera.
- Wielomian charakterystyczny
Jeśli
jest wielomianem charakterystycznym macierzy
to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi
skąd
![{\displaystyle (-1)^{n}p_{n}\mathbf {I} =\mathbf {A} \left(-p_{1}\mathbf {A} ^{n-1}+p_{2}\mathbf {A} ^{n-2}+\ldots +(-1)^{n-1}p_{n-1}\mathbf {I} \right),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d6fc225aca8f91fee99f4c28e7b858e1b3b3c1)
a ponieważ
to oznaczając
otrzymuje się
![{\displaystyle (\det \mathbf {A} )\mathbf {I} =\mathbf {A} q(\mathbf {A} ),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1901feac61b7c7adbdb8a1e3e8c1f984f671f12)
przy czym
skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.
Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy
ma postać
![{\displaystyle \mathrm {d} (\det \mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\ \mathrm {d} \mathbf {A} \right),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a775c363bfe5ea2fe251db32493ecb9d6049e6)
gdzie
oznacza różniczkę macierzy
a symbol
oznacza ślad macierzy.
- Dopełnieniem algebraicznym macierzy stopnia
![{\displaystyle 3}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f)
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\color {Magenta}1&2&3\\\color {Red}4&\color {Orange}5&\color {Orange}6\\\color {Magenta}7&8&9\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e6f29a0a493ab063ba913d31bec27f8f94e3d8)
- względem elementu
jest wyznacznik
pomnożony przez
a więc
![{\displaystyle A_{21}=(-1)(2\cdot 9-3\cdot 8)=-(18-24)=6,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e5ab9eea8eae92806325c848d5ac71c9d2fadf)
- podobnie
i
oraz
i
Macierz dopełnień algebraicznych macierzy
jest w tym wypadku równa macierzy do niej dołączonej (ponieważ jest ona symetryczna),
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }={\begin{bmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{bmatrix}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f62c10b0bce0c31b850a7222b6ac596bdb94be9)
- Rozwinięciem Laplace’a macierzy
względem jej drugiego wiersza jest wyznacznik
![{\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}=\color {Red}4\color {Black}\cdot 6+\color {Orange}5\color {Black}(-12)+\color {Orange}6\color {black}\cdot 6=24-60+36=0,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6f506512fe0cbcce8923daf6595f27e1779e9f)
- a względem jej pierwszej kolumny:
![{\displaystyle \det \mathbf {A} =a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=\color {Magenta}1\color {Black}(-3)+\color {Red}4\color {Black}\cdot 6+\color {Magenta}7\color {black}(-3)=-3+24-21=0.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c770c0b204a6ea7b30ad1cf57d5dd0be517b9da)
- Analogicznie dla pozostałych wierszy i kolumn. Ogólnie
gdzie
oznacza macierz zerową trzeciego stopnia; w obu przypadkach otrzymane wyniki oznaczają, iż
jest nieodwracalna[c].
- Macierzą dołączoną do macierzy
jest macierz
Zachodzi dla niej
![{\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{\mathrm {D} }={\begin{bmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-bc+da\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(ad-bc){\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {M} )\mathbf {I} .}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1200adb048cf58175547d97cd0dd39e8643a9a29)
- Jeśli więc
to
![{\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {M} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1823c81ddbb698ed7e670c68bb5f694f0c49a5ae)
- ↑ Macierz dołączona może być obliczona wyłącznie za pomocą dodawań i mnożeń, co stanowi szybką alternatywę obliczania macierzy odwrotnej (czy wielomianu charakterystycznego): wymaga ona tylko jednego dzielenia przez wyznacznik tej macierzy (zob. złożoność obliczeniowa algorytmu).
- ↑ Warunek niezerowości wyznacznika należy zamienić na jego odwracalność.
- ↑ Co wynika również z faktu, iż wiersze/kolumny tej macierzy są liniowo zależne, np.
gdzie
oznacza
-ty wiersz macierzy
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|