Pierwiastek sześcienny

Pierwiastkiem sześciennym liczby ${\displaystyle x}$ jest taka liczba ${\displaystyle y,}$ że ${\displaystyle y^{3}=x}$. Pierwiastki sześcienne oznacza się symbolem ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ ^[1]. Liczbę ${\displaystyle x}$ nazywa się liczbą podpierwiastkową. Rozważa się pierwiastki sześcienne z liczb rzeczywistych ${\displaystyle R}$ oraz zespolonych ${\displaystyle C}$. Pojęcie pierwiastkowania rozszerza się także na elementy dowolnych pierścieni przemiennych, przy czym pierwiastki (w tym sześcienne) definiuje się w analogiczny sposób, jak to zdefiniowane jest dla liczb.

Liczby rzeczywiste mają zawsze pojedyncze pierwiastki sześcienne w dziedzinie liczb ${\displaystyle R}$. Tj. dla dowolnej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x}$ istnieje tylko jedna liczba rzeczywista ${\displaystyle y,}$ taka, że ​​${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$.

Jest tak dlatego, że funkcja sześcienna ${\displaystyle y=x^{3}}$, do której funkcja pierwiastka sześciennego jest odwrotna, jest rosnąca w całym zakresie liczb rzeczywistych i dla dwóch różnych wartości ${\displaystyle x}$ daje różne wyniki ${\displaystyle y=x^{3}}$. Innymi słowy, funkcja sześcienna jest bijekcją (odwzorowuje zbiór liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych w relacji 1 do 1). Dlatego też można zdefiniować funkcję odwrotną, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje unikalny pierwiastek sześcienny.

Pierwiastek sześcienny w dziedzinie liczb rzeczywistych z liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, a z liczby ujemnej jest liczbą ujemną, np. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$, gdyż ${\displaystyle 2^{3}=8}$; ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$, gdyż ${\displaystyle (-2)^{3}=-8}$.

• Pierwiastek sześcienny z liczby naturalnej jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwiastkowana jest sześcianem liczby naturalnej^[2]. Na przykład ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ jest liczbą niewymierną.
• W twierdzeniu powyższym liczby naturalne można zastąpić liczbami całkowitymi.
• Pierwiastek sześcienny z liczby wymiernej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest sześcianem liczby wymiernej.
• Dla każdej liczby rzeczywistej ${\displaystyle x}$ istnieje dokładnie jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny z ${\displaystyle x.}$ Wynika to z tego, że funkcja

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ dla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

jest ciągłą funkcją rosnącą oraz ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{3}=\infty }$ oraz ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }x^{3}=-\infty .}$

Z wartości granic na podstawie twierdzenia Darboux wynika wtedy, że funkcja ta przekształca zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liczb rzeczywistych na ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ a z monotoniczności wynika jej różnowartościowość. Dlatego dla każdej liczby ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ istnieje dokładnie jedna liczba ${\displaystyle b=f^{-1}(a)\in \mathbb {R} .}$ Liczba ${\displaystyle b}$ jest pierwiastkiem sześciennym z ${\displaystyle a.}$

Z definicji pierwiastka sześciennego i definicji potęgi wynika tożsamość (por. Potęgowanie)

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}\equiv x^{{1}/{3}}}$

Z własności potęgowania wynikają następujące tożsamości:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{m}}}=\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{m}=\left(x^{1/3}\right)^{m}=x^{m/3}}$
• ${\displaystyle \left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,}$
• ${\displaystyle \left(x^{{1}/{3}}\right)^{3}=x^{{3}/{3}}=x.}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}}$ - pierwiastek sześcienny z liczby przeciwnej (szczególny przypadek tożsamości podanej niżej)
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{xy}}={\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}},}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x/y}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}}$ dla ${\displaystyle y\neq 0.}$

Tożsamości dla sumy i różnicy pierwiastków sześciennych:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a+b+3{\sqrt[{3}]{a^{2}b}}+3{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}}={\frac {a+b}{{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}},}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}}={\sqrt[{3}]{a-b-3{\sqrt[{3}]{a^{2}b}}+3{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}}.}$

Liczby zespolone mają zawsze trzy pierwiastki sześcienne. Gdy liczba zespolona redukuje się do liczby rzeczywistej (tj. ma tylko niezerową część rzeczywistą, a zerową część urojona), to i tak liczba ta ma trzy pierwiastki w dziedzinie liczb zespolonych ${\displaystyle C}$: jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny oraz parę zespolonych, sprzężonych pierwiastków sześciennych; natomiast liczby zespolone o niezerowej części urojonej mają trzy różne zespolone pierwiastki sześcienne (por. wykresy pierwiastków zespolonych liczb ${\displaystyle z=1}$ oraz ${\displaystyle z=1+i}$). Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki sześcienne liczby ${\displaystyle z=|z|\cdot e^{i\phi }}$ znajdują się na wierzchołkach trójkąta równoramiennego, obróconego o kat ${\displaystyle \phi /3}$ względem osi rzeczywistej, gdzie ${\displaystyle \phi }$ - argument danej liczby ${\displaystyle z}$ (por. poniżej).

Jeżeli liczbę zespoloną zapisze się w postaci wykładniczej

${\displaystyle z=|z|\cdot e^{i\phi }}$,

to jej trzy pierwiastki sześcienne oblicza się ze wzoru de Moivre’a:

${\displaystyle t_{k}\equiv {\sqrt[{3}]{z}}_{(k)}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot k)/3},\ k\in \{0,1,2\}}$

Równoważny zapis (korzystający z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej)

${\displaystyle t_{k}\equiv {\sqrt[{3}]{z}}_{(k)}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot {\big [}\cos {\big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{3}}{\big )}+i\sin {\big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{3}}{\big )}{\big ]},\quad k\in \{0,1,2\}}$

Dla liczby 1 moduł i argument wynoszą odpowiednio ${\displaystyle |z|=1,\phi =0.}$ Licząc ze wzoru de Moivre'a pierwiastki sześcienne otrzymamy:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 0}=1\\e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 1}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\\e^{i{\frac {2\pi }{3}}\cdot 2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\end{cases}}}$

Z wzoru de Moivre'a wynika, że dla dowolnej liczby zespolonej ${\displaystyle z}$ jej pierwiastki sześcienne dane są wzorami:

${\displaystyle t_{0}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot 0)/3}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i\phi /3}}$

${\displaystyle t_{1}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot 1)/3}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i\phi /3}e^{i2\pi /3}=w_{0}e^{i2\pi /3}}$

${\displaystyle t_{2}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot 2)/3}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i\phi /3}e^{i4\pi /3}=w_{0}e^{i4\pi /3}}$

Wynika stąd, że pierwiastki ${\displaystyle w_{1}}$ oraz ${\displaystyle w_{2}}$ można otrzymać mnożąc pierwiastek ${\displaystyle t_{0}}$ przez drugi i trzeci pierwiastek z jedynki, tj.

${\displaystyle t_{1}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}w_{0}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}w_{0}}$

${\displaystyle t_{2}=e^{i{\frac {4\pi }{3}}}w_{0}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}w_{0}}$

Jeżeli oznaczymy

${\displaystyle \omega =e^{i{\frac {2\pi }{3}}}\equiv {\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

Wtedy

${\displaystyle {\Big (}{\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{2}=\omega ^{2}}$

Pierwiastki sześcienne dowolnej liczby ${\displaystyle z}$ można zapisać teraz w zwartej formule:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\begin{cases}t_{0}\\t_{1}=t_{0}\cdot \omega \\t_{2}=t_{0}\cdot \omega ^{2}\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle t_{0}}$ - dowolny z trzech pierwiastków zespolonych danej liczby.

Wzór ten oznacza, że pozostałe pierwiastki otrzymuje się przez mnożenie danego pierwiastka przez pierwiastek z jedynki ${\displaystyle \omega }$ i jego kwadrat ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Na płaszczyźnie zespolonej odpowiada to obrotowi wektora wodzącego punktu, wyznaczającego położenie pierwiastka ${\displaystyle t_{0}}$, o kąt ${\displaystyle 2\pi /3=120^{0}.}$

Pierwiastki obliczone wg wzoru de Moivre'a dla liczby ${\displaystyle z=-8}$ mają wartości (moduł i argument wynoszą odpowiednio ${\displaystyle |z|=8,\phi =\pi }$):

${\displaystyle t_{0}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{i\phi /3}=2\cdot e^{i\pi /3}=1+i{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle t_{1}=-2}$

${\displaystyle t_{2}=1-i{\sqrt {3}}}$.

Gdyby jednak jako wartość startową przyjąć ${\displaystyle t_{0'}={\sqrt[{3}]{x}}}$ czyli wartość pierwiastka rzeczywistego (tj. zdefiniowanego w dziedzinie liczb rzeczywistych), to np. dla liczby ${\displaystyle x=-8}$ mielibyśmy wg wyżej podanej reguły następującą kolejność pierwiastków:

${\displaystyle t_{0'}={\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$

${\displaystyle t_{1'}=-2\cdot {\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=1-i{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle t_{2'}=-2\cdot {\tfrac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}=1+i{\sqrt {3}}}$

czyli pierwiastek zerowy wg wzoru de Moivre'a stałby się ostatnim wg drugiej reguły obliczeń, itd. Kolejność numeracji pierwiastków w obliczeniach może być istotna. Stąd m. in. powstała potrzeba definicji pierwiastka głównego, co omówiono niżej.

Skoro w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek ma wiele wartości (w tym trzy dla pierwiastka sześciennego), to wprowadza się pojęcie tzw. pierwiastka głównego, który definiuje się zazwyczaj jako pierwiastek, który ma największą wartość bezwzględna części rzeczywistej, lub - równoważnie - jako mający najmniejszą wartość bezwzględną argumentu:

Jeżeli liczbę zespoloną przedstawi się w postaci wykładniczej

${\displaystyle z=|z|\cdot e^{i\phi }\,}$,

przyjmując ${\displaystyle \phi \in (-\pi ,\pi >}$ , to pierwiastek główny wynosi

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}={\sqrt[{3}]{|z|}}\cdot e^{\phi /3}}$

Pierwiastek główny jest więc pierwiastkiem o numerze 0 wg wzoru de Moivre'a, gdy ustali się fazę liczby zespolonej w przedziale wyżej podanym.

Konsekwencją takiej definicji jest, iż pierwiastek główny jest liczbą zespoloną dla liczb ujemnych; np. dla liczby ${\displaystyle -8}$ jest równy ${\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}$, a nie ${\displaystyle -2}$, czyli pierwiastek główny sześcienny w dziedzinie liczb zespolonych jest różny od pierwiastka sześciennego w zbiorze liczb rzeczywistych.

Z powyższego względu w obliczeniach numerycznych konieczna jest uwaga: czy zastosowana procedura liczy np. pierwiastek sześcienny główny w dziedzinie zespolonej czy pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej.

Ponieważ pierwiastek z liczby zespolonej ${\displaystyle z}$ ma wiele wartości, to nie da się bezpośrednio utworzyć funkcji, która jednoznacznie przyporządkowuje liczbie zespolonej pierwiastek sześcienny ${\displaystyle f:z\to t:\ t={\sqrt[{3}]{z}}}$. Tę trudność można rozwiązać rozważając funkcje wielowartościowe, pisząc wyjściową liczbą zespoloną w trzech postaciach

${\displaystyle z={\begin{cases}|z|e^{i\phi }\\[3px]|z|e^{i(\phi +2\pi )}\\[3px]|z|e^{i(\phi -2\pi )}\end{cases}}}$

Wtedy pierwiastki główne tych trzech postaci mają wartości (por. pierwiastkowanie liczb zespolonych - Wzór de Moivre’a):

${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{z}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{|z|}}e^{i\phi /3}\\{\sqrt[{3}]{|z|}}e^{i(\phi +2\pi )/3}\\{\sqrt[{3}]{|z|}}e^{i(\phi -2\pi )/3}\end{cases}}}$

Teoretycznie uzasadnia się to budując za pomocą przedłużenia analitycznego powierzchnię Riemanna, na której można określić pierwiastek sześcienny jako funkcję. Powierzchnię tę można sobie wyobrazić jako trzy egzemplarze płaszczyzny zespolonej z usuniętym punktem 0 i rozcięciem wzdłuż półprostych wychodzących z punktu 0 i połączone z sobą tak, jak jest to pokazane na rysunku.

Różne języki obliczeniowe przyjmują stosowne definicje pierwiastków głównych.

Z algebraicznego punktu widzenia pierwiastkiem sześciennym jest dowolne rozwiązanie równania ${\displaystyle x^{3}-a=0}$ zmiennej ${\displaystyle x}$ (czyli pierwiastek wielomianu ${\displaystyle x^{3}-a}$). Równania takie można rozpatrywać nad dowolnym pierścieniem przemiennym, analogicznie jak w dziedzinie liczb rzeczywistych i zespolonych.

Metoda Newtona jest metodą iteracyjną, którą można użyć do obliczania pierwiastka sześciennego w dziedzinie liczb R. W zerowym kroku zadaje się wartość startową ${\displaystyle x_{0}}$ (np.${\displaystyle x_{0}=a}$), w kolejnych krokach oblicza się coraz lepsze przybliżenia pierwiastka sześciennego z liczby ${\displaystyle a}$, przy czym :

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right),\ \ n=0,1,2,\dots }$

Obok pokazano kolejne przybliżenia obliczeń pierwiastka sześciennego z liczby ${\displaystyle a=2}$, zaczynając od wartości początkowej ${\displaystyle x_{0}=70}$ (bardzo dalekiej od wartości dokładnej); pomimo tego już w 14-tym kroku uzyskano wynik ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498948732}$ z dokładnością do ${\displaystyle 10^{-10}}$. Pokazuje to, jak skuteczna jest to metoda.

Dana liczba ma jedną wartość pierwiastka sześciennego w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale trzy wartości w dziedzinie liczb zespolonych. Jest to istotne, gdyż np. liczenie numeryczne pierwiastków może prowadzić do błędów, jeżeli zamiast pierwiastka w dziedzinie liczb rzeczywistych zostanie przyjęty jako wynik jeden z pierwiastków z dziedziny liczb zespolonych. Ta sama uwaga dotyczy liczenia pierwiastków wyższych stopni: w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek n-tego stopnia ma n różnych wartości dla danej liczby.

Wielowartościowość pierwiastka sześciennego prowadzi do konieczności stosowania ścisłych reguł w obliczeniach, inaczej może prowadzić do błędów (np. wzory Cardana na pierwiastki równania sześciennego). M. in. wprowadza to potrzebę definicji tzw. pierwiastka głównego.

Korzystając z zależności^[a]

${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots }$

można zastosować następujący algorytm obliczania pierwiastka sześciennego dysponując kalkulatorem wyposażonym w klawisz do obliczania pierwiastka kwadratowego i mnożenia, rozpoczynając go po uzyskaniu na wyświetlaczu liczby, z której chcemy obliczyć pierwiastek sześcienny.

• Wykonaj jeden raz pierwiastkowanie.
• Wykonaj mnożenie.
• Wykonaj dwa razy pierwiastkowanie.
• Wykonaj mnożenie.
• Wykonaj cztery razy pierwiastkowanie.
• Wykonaj mnożenie.
• Wykonaj osiem razy pierwiastkowanie.
• Wykonaj mnożenie....

Proces należy kontynuować, aż liczba przestanie się zmieniać po naciśnięciu klawisza mnożenia, ponieważ powtarzana operacja pierwiastkowania wynosi 1 (co oznacza, że rozwiązanie zostało osiągnięte z największą dokładnością jaką ten kalkulator mógł osiągnąć). A następnie:

• Naciśnij ostatni raz klawisz pierwiastkowania.

W tym momencie na wyświetlaczu pojawi się przybliżona wartość pierwiastka sześciennego.

Podnosząc ${\displaystyle x}$ do potęgi po obu stronach tożsamości powyżej otrzymujemy:

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}=x^{{\frac {1}{2^{2}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{16}}}\right)\dots }.}$ (*)

Z lewej strony równania mamy pierwiastek sześcienny z ${\displaystyle x.}$

Po 2, 4, 6, 8, ... krokach obliczeń przybliżenia wartości pierwiastka sześciennego wynoszą :

${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}\approx }$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)}}$, ${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)}}$, ${\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{4}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{8}}}\right)}}$, itd.

Im więcej kroków zrobi się, tym lepsze przybliżenie.

Powyższa metoda wymaga aby kalkulator był wyposażony w funkcję pierwiastka kwadratowego. Dysponując prostą metodą obliczania pierwiastka kwadratowego następujące wyrażenie jest szybko zbieżne do wyniku:

${\displaystyle x_{i+1}={\tfrac {4}{3}}{\sqrt[{4}]{ax_{i}}}-{\tfrac {1}{3}}x_{i}.}$

Gdzie z każdą iteracją wynik jest zbieżny do pierwiastka sześciennego z ${\displaystyle a.}$

Ta metoda wymaga mniej iteracji niż metoda Halleya, ale wymaga więcej obliczeń, ukrytych w wyznaczeniu pierwiastków kwadratowych. Z uwagi na szybką zbieżność, początkowe przybliżenie wartością 1 jest wystarczające.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{1}}&=1&{\sqrt[{3}]{11}}\approx 2{,}2239800905693155211653633...\\{\sqrt[{3}]{2}}&\approx 1{,}2599210498948731647672106...&{\sqrt[{3}]{12}}\approx 2{,}2894284851066637356160844...\\{\sqrt[{3}]{3}}&\approx 1{,}4422495703074083823216383...&{\sqrt[{3}]{13}}\approx 2{,}3513346877207574895000163...\\{\sqrt[{3}]{4}}&\approx 1{,}5874010519681994747517056...&{\sqrt[{3}]{14}}\approx 2{,}4101422641752299861283696...\\{\sqrt[{3}]{5}}&\approx 1{,}7099759466766969893531088...&{\sqrt[{3}]{15}}\approx 2{,}4662120743304701014916113...\\{\sqrt[{3}]{6}}&\approx 1{,}8171205928321396588912117...&{\sqrt[{3}]{16}}\approx 2{,}5198420997897463295344212...\\{\sqrt[{3}]{7}}&\approx 1{,}9129311827723891011991168...&{\sqrt[{3}]{17}}\approx 2{,}5712815906582353554531872...\\{\sqrt[{3}]{8}}&=2&{\sqrt[{3}]{18}}\approx 2{,}6207413942088966071416612...\\{\sqrt[{3}]{9}}&\approx 2{,}0800838230519041145300568...&{\sqrt[{3}]{19}}\approx 2{,}6684016487219448673396273...\\{\sqrt[{3}]{10}}&\approx 2{,}1544346900318837217592935...&{\sqrt[{3}]{20}}\approx 2{,}7144176165949065715180894...\end{aligned}}}$

Na temat obliczania pierwiastków sześciennych można znaleźć wzmianki u matematyków babilońskich(inne języki) z 1800 r. B.C.^[3] W IV wieku B.C. Platon postawił problem podwojenia objętości sześcianu za pomocą klasycznej konstrukcji (tj. z użyciem cyrkla i linijki), co wymaga wyznaczenia długości krawędzi nowego sześcianu o długości ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ raza większej od krawędzi pierwotnego sześcianu (obecnie wiadomo, że konstrukcja taka jest niemożliwa). Metoda wyodrębniania pierwiastków sześciennych pojawiła się następnie w dziele Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej 九章算术(inne języki), chińskim(inne języki) tekście matematycznym skompilowanym około II w. B.C.^[4] Grecki matematyk(inne języki) Heron z Aleksandrii opracował metodę obliczania pierwiastków sześciennych w pierwszym wieku naszej ery. Jego formuła została ponownie wspomniana przez Eutokiosa w komentarzu do Archimedesa.^[5] W 499 n.e Aryabhata opisał metodę znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb wielocyfrowych w swoim dziele Aryabhatiya (rozdział 2.5)^[6].

• pierwiastkowanie
• pierwiastek kwadratowy
• pierwiastek z jedynki
• podwojenie sześcianu
• pierwiastkowanie liczb zespolonych - Wzór de Moivre’a.
• Algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia

• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968.

• Computing the Cube Root, K. Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998. (ang.) Zawiera kod źródłowy w C.
• Pierwiastek sześcienny na PlanetMath.
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pierwiastek sześcienny, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).