Przejdź do zawartości

Twierdzenie Caseya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya[1].

Wypowiedź twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]
Animacja pokazująca, jak twierdzenie Caseya degeneruje się do twierdzenia Ptolemeusza
Niech będzie okręgiem o promieniu Niech będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu Oznaczmy przez długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów Wtedy zachodzi[1]:
(1)

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa[2][3]. Oznaczmy promień okręgu przez a jego punkt styczności z okręgiem przez Środki okręgów będziemy oznaczali przez oraz Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

(1a)
Zależności pomiędzy odcinkami stycznymi wewnętrznymi (po lewej) oraz zewnętrznymi (po prawej) do okręgów

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta wynika, że

(1b)

Ponieważ okręgi są do siebie styczne, zachodzi

a ponieważ są styczne wewnętrznie

Łatwo również zauważyć, że kąty i to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

Niech będzie punktem na okręgu Z twierdzenia sinusów w trójkącie

Zatem

podstawiając je do wzoru (1b):

Ostatecznie, długość której szukamy, to

(1c)

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania (1); wymnażając wartości oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta otrzymujemy:

co było do okazania.

Uogólnienia i uwagi

[edytuj | edytuj kod]
Przypadek twierdzenia Caseya, gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a dwa zewnętrznie

Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie[4]:

Jeśli są oba styczne z tej samej strony (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.
Jeśli zaś są styczne z różnych stron (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg jest styczny zewnętrznie do to oczywiście

Oprócz tego, gdy są styczne po przeciwnych stronach okręgu (ponownie załóżmy, że jest styczny zewnętrznie, a wewnętrznie), to długość odcinka (1a) spełnia wtedy zależność

Przypadek twierdzenia Caseya, gdy jeden okręg jest styczny wewnętrznie, a trzy zewnętrznie

co po analogicznych przekształceniach daje

Gdy z kolei oba okręgi są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność (1a), a jego długość wynosi

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów stycznych, w tej kolejności, do w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka (1c) wynosi

gdzie znak w wyrażeniach zależy od tego, czy okrąg jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

Twierdzenie odwrotne

[edytuj | edytuj kod]

Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość (1), to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie[5][6]:

Niech dane będą cztery okręgi Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) pomiędzy okręgami zachodzi
(3)
wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w (3) określa jak okręgi te są styczne:
  • jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi są styczne w ten sam sposób do (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
  • jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
  • jeśli okręgi można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu

Zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya[1][7]. Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 roku[8][9].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • M. Zacharias. Der Caseysche Satz. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 52, s. 79–89, 1942. 
  • John Casey. „Math. Proc. R. Ir. Acad.”. 9. s. 396. 
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
  • Henryk Pawłowski, Joanna Zakrzewska: O pewnym uogólnieniu Twierdzenia Ptolemeusza. W: Matematyka. Poszukuję - odkrywam. Zeszyt 1. Kraków: Wydawnictwo Szkole Omega, 2010, s. 13–24.
  • Tony Rothman, Hidetoshi Fukagawa. Japanese temple geometry. „Scientific American”, s. 84–91, maj 1998. 
  • Anna Dymek. Japońska geometria świątynna. „Delta”, maj 2012. 
  • Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]