Twierdzenie o trzech ciągach
Twierdzenie o trzech ciągach – twierdzenie analizy matematycznej o zależnościach między ciągami zbieżnymi.
Intuicyjność tego twierdzenia umożliwiła żartobliwe jego sformułowanie jako „twierdzenia o milicjantach” (w czasie stanu wojennego w Polsce, nazwa ta funkcjonuje także w Rosji, zob. milicja w Rosji; dziś częściej mówi się o policjantach): jeśli idziesz między dwoma milicjantami zmierzającymi do tego samego komisariatu, to też tam zmierzasz. We Włoszech twierdzenie nosi nazwę „twierdzenia o karabinierach”, we Francji zaś znane jest jako „twierdzenie o żandarmach”[potrzebny przypis].
Twierdzenie to, w formie geometrycznej, stosowali już w starożytności Archimedes i Eudoksos. Obecną, ścisłą formę nadał mu Carl Friedrich Gauss[potrzebny przypis]. Analogiczne twierdzenie dla funkcji znane jest jako twierdzenie o trzech funkcjach[potrzebny przypis].
Twierdzenie
[edytuj | edytuj kod]Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych: Jeśli jednocześnie:
- dla prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich większych od pewnego wskaźnika zachodzą nierówności
- ciągi zbiegają do tej samej granicy:
to wtedy także ciąg do niej zbiega:
- [1].
Dowód
[edytuj | edytuj kod]Niech dany będzie Zbieżność ciągów oraz oznacza, że można wskazać takie, że dla dowolnego zachodzą nierówności
- oraz
Skąd na podstawie własności wartości bezwzględnej
- oraz
czyli
- oraz
Na podstawie powyższych nierówności i z założeń twierdzenia dla dowolnego zachodzi oszacowanie
które jest równoważne
co oznacza, że
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach można dowieść, że
- Otóż dla dowolnego zachodzą oszacowania
- Wzięcie granic skrajnych wyrazów przy daje
- gdyż jest ciągiem stałym równym
- oraz
- gdyż dla
- skąd na mocy twierdzenia również
- Z dowodu twierdzenia o trzech ciągach wynika również, że jeśli granice dolna i górna ciągu są sobie równe, to dowolny jego podciąg jest zbieżny do tej granicy. Pociąga to za sobą zbieżność do danej granicy także całego ciągu.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑
Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 4: Ciągi liczbowe, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-07-09].
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 45. ISBN 83-01-02175-6.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Twierdzenie o trzech ciągach, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
Szymon Charzyński, Twierdzenie o trzech ciągach (funkcjach), kanał Khan Academy na YouTube, 22 marca 2014 [dostęp 2024-07-09].
Twierdzenia o trzech i o dwóch ciągach, Matematyka z ZUT-em, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2024-07-09].
- Eric W. Weisstein , Squeeze Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-07-08].