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Cobertura (matemática)

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Em matemática, particularmente em topologia, uma cobertura de um conjunto é uma coleção de conjuntos cuja união inclui como um subconjunto. Formalmente, se é uma família indexada de conjuntos então é uma cobertura de se

Cobertura na topologia

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Coberturas são comumente usadas no contexto da topologia. Se o conjunto é um espaço topológico, então uma cobertura de é uma coleção de subconjuntos de cuja união é todo o espaço . Nesse caso, dizemos que cobre , ou que os conjuntos cobrem .

Além disso, se é um subespaço topológico de , então uma cobertura de é uma coleção de subconjuntos de cuja união contém , ou seja, é uma cobertura de se

A diferença entre a definição de uma cobertura de um espaço topológico e uma cobertura de um subespaço topológico precisa ser levada em conta. As aplicações em análise usam, efetivamente, a definição de subespaço.

Seja uma cobertura de um espaço topológico . Uma subcobertura de é um subconjunto de que ainda cobre .

Dizemos que é uma cobertura aberta se cada um de seus membros for um conjunto aberto (isto é, cada está contido em , onde é a topologia em ).

Uma cobertura de é considerada localmente finita se cada ponto de tem uma vizinhança que cruza apenas finitos conjuntos na cobertura. Formalmente, é localmente finito se, para qualquer existe alguma vizinhança de tal que o conjunto

seja finito. Uma cobertura de é considerada ponto-finita se cada ponto de estiver contido apenas em um número finito de conjuntos na cobertura. Uma cobertura é ponto-finita se for localmente finita, embora o inverso não seja necessariamente verdadeiro.

Um refinamento de uma cobertura de um espaço topológico é uma nova cobertura de de modo que cada conjunto em esteja contido em algum conjunto em . Formalmente:

é um refinamento de se, para todo , existe de tal modo que .

Em outras palavras, deve existir um mapa de refinamento que satisfaça para cada Esse mapa é usado, por exemplo, na cohomologia de Čech de .[1]

Cada subcobertura também é um refinamento, mas o oposto nem sempre é verdadeiro. Uma subcortura é feita a partir de conjuntos que estão na cobertura, mas omitindo alguns deles; ao passo que um refinamento é feito a partir de quaisquer conjuntos que sejam subconjuntos dos conjuntos da cobertura.

A relação de refinamento é uma pré-ordem sobre o conjunto de coberturas de .

De modo geral, um refinamento de uma determinada estrutura representa, de certa forma, uma outra estrutura que a contém. Exemplos podem ser encontrados ao se particionar um intervalo (com um refinamento de , sendo ) e ao se analisarem topologias (com a topologia usual no espaço euclidiano sendo um refinamento da topologia trivial). Na subdivisão de complexos simpliciais (a primeira subdivisão baricêntrica de um complexo simplicial é um refinamento), a situação é ligeiramente diferente: cada simplexo no complexo mais fino é uma face de algum simplexo no complexo mais grosso, e ambos têm poliedros subjacentes iguais.

Uma maneira simples de se obter uma subcobertura é omitindo-se os conjuntos contidos em outro conjunto na cobertura. Considere especificamente as coberturas abertas. Seja uma base topológica de e uma cobertura aberta de . Primeiro tome , então é um refinamento de . Em seguida, para cada , seleciona-se um contendo (exigindo o axioma de escolha). Então é uma subcobertura de . Conseqeentemente, a cardinalidade de uma subcobertura de uma cobertura aberta pode ser tão pequena quanto a de qualquer base topológica. Portanto, em particular, o segundo axioma de enumerabilidade implica em um espaço de Lindelöf.

A noção de coberturas é frequentemente usada para definir várias propriedades topológicas relacionadas à compactação. Um espaço topológico é dito ser

se toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento finito);
se toda cobertura aberta tem uma subcobertura contável (ou, equivalentemente, se toda cobertura aberta tem um refinamento contável);
  • metacompacto
se toda cobertura aberta tem um refinamento aberto ponto-finito;
se toda cobertura aberta admite um refinamento aberto localmente finito.

Dimensão de cobertura

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Diz-se que um espaço topológico possui dimensão de cobertura se cada cobertura aberta de tiver um refinamento aberto ponto-finito, de modo que nenhum ponto de seja incluído em mais que conjuntos no refinamento e se for o valor mínimo para o qual isso é verdade.[2] Se tal mínimo não existir, o espaço é considerado de dimensão de cobertura infinita.

Referências

  1. Bott, Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. [S.l.: s.n.] 
  2. Munkres, James (1999). Topology 2nd ed. [S.l.]: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 
  1. Introduction to Topology, Segunda Edição, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
  2. General Topology, John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.

Ligações externas

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