ISO 31-11
![]() |
Эта страница или раздел содержит специальные символы Unicode. Если у вас отсутствуют необходимые шрифты, некоторые символы могут отображаться неправильно. |
ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (англ. mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2[1] (последняя редакция[2]: ISO 80000-2:2019, 2nd edition).
Математические символы
[править | править код]Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта[3].
Математическая логика
[править | править код]Обозна- чение |
Употребление | Название | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|---|---|
∧ | p ∧ q | конъюнкция | p и q | |
∨ | p ∨ q | дизъюнкция | p или q (возможно, оба) | |
¬ | ¬ p | отрицание | неверно p; не-p | |
⇒ | p ⇒ q | импликация | если p, то q; из p следует q | Иногда записывается в виде p → q или q ⇐ p. |
∀ | ∀x∈A p(x) (∀x∈A) p(x) |
квантор общности | для каждого x из множества A верно утверждение p(x) | Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста. |
∃ | ∃x∈A p(x) (∃x∈A) p(x) |
квантор существования | существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно | Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста. Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A. |
Теория множеств
[править | править код]Обозна- чение |
Употребление | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|---|
∈ | x ∈ A | x принадлежит A; x является элементом множества A | |
∉ | x ∉ A | x не принадлежит A; x не является элементом множества A | Перечёркивающая линия может быть и вертикальной. |
∋ | A ∋ x | Множество A содержит элемент x | равносильно x ∈ A |
∌ | A ∌ x | Множество A не содержит элемента x | равносильно x ∉ A |
{ } | {x1, x2, ..., xn} | множество, образованное элементами x1, x2, ..., xn | также {xi ∣ i ∈ I}, где I обозначает множество индексов |
{ ∣ } | {x ∈ A ∣ p(x)} | множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно | Пример: {x ∈ ℝ ∣ x > 5} Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста. |
card | card(A) | кардинальное число элементов множества A; мощность A | |
∖ | A ∖ B | разность множеств A и B; A минус B | Множество элементов из A, которых нет в B. A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } Не следует записывать в виде A − B. |
∅ | пустое множество | ||
ℕ | множество натуральных чисел, включая ноль | ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой: ℕ* = {1, 2, 3, ...} Конечное подмножество: ℕk = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1} | |
ℤ | множество целых чисел | ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} Целые ненулевые обозначаются ℤ* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} | |
ℚ | множество рациональных чисел | ℚ* = ℚ ∖ {0} | |
ℝ | множество вещественных чисел | ℝ* = ℝ ∖ {0} | |
ℂ | множество комплексных чисел | ℂ* = ℂ ∖ {0} | |
[,] | [a,b] | замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая) | [a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b} |
],] (,] |
]a,b] (a,b] |
полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая) | ]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b} |
[,[ [,) |
[a,b[ [a,b) |
полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая) | [a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b} |
],[ (,) |
]a,b[ (a,b) |
открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая) | ]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b} |
⊆ | B ⊆ A | B содержится в A; B есть подмножество A | Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: ⊂ . |
⊂ | B ⊂ A | B содержится в A как собственное подмножество | Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество". |
⊈ | C ⊈ A | C не содержится в A; C не является подмножеством A | Вариант: C ⊄ A |
⊇ | A ⊇ B | A содержит B (как подмножество) | A содержит все элементы B. Вариант: ⊃. B ⊆ A равносильно A ⊇ B. |
⊃ | A ⊃ B. | A содержит B как собственное подмножество. | A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество". |
⊉ | A ⊉ C | A не содержит C (как подмножество) | Вариант: ⊅ . A ⊉ C равносильно C ⊈ A. |
∪ | A ∪ B | объединение A и B | Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } |
⋃ | объединение семейства множеств | , множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из A1, ..., An. Варианты: и , , где I — множество индексов. | |
∩ | A ∩ B | пересечение A и B | Множество элементов, принадлежащих как A, так и B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } |
⋂ | пересечение семейства множеств | , множество элементов, принадлежащих каждому A1, ..., An. Варианты: и , , где I — множество индексов. | |
∁ | ∁AB | разность A и B | Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB = A ∖ B. |
(,) | (a, b) | упорядоченная пара a, b | (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Вариант записи: ⟨a, b⟩. |
(,...,) | (a1, a2, ..., an) | упорядоченный n-кортеж | Вариант записи: ⟨a1, a2, ..., an⟩ (угловые скобки). |
× | A × B | декартово произведение множеств A и B | Множество упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A обозначается An, где n — число сомножителей. |
Δ | ΔA | множество пар (a, a) ∈ A × A, где a ∈ A; то есть диагональ множества A × A | ΔA = { (a, a) ∣ a ∈ A } Вариант записи: idA. |
Прочие символы
[править | править код]Обозначение | Пример | Смысл и пояснения | Комментарии | |
---|---|---|---|---|
Юникод | TeX | |||
≝ | a ≝ b | a равно b по определению[3] | Вариант записи: a := b | |
= | a = b | a равно b | Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество. | |
≠ | a ≠ b | a не равно b | Вариант записи: указывает, что a не тождественно равно b. | |
≙ | a ≙ b | a соответствует b | Пример: на карте масштаба 1:106 1 см ≙ 10 км. | |
≈ | a ≈ b | a приблизительно равно b | Символ ≃ означает "асимптотически равно". | |
∼ ∝ |
a ∼ b a ∝ b |
a пропорционально b | ||
< | a < b | a меньше, чем b | ||
> | a > b | a больше, чем b | ||
⩽ | a ⩽ b | a меньше или равно b | Вариант: ≤, ≦. | |
⩾ | a ⩾ b | a больше или равно b | Вариант: ≥, ≧. | |
≪ | a ≪ b | a намного меньше, чем b | ||
≫ | a ≫ b | a намного больше, чем b | ||
∞ | бесконечность | |||
() [] {} ⟨⟩ |
, скобки , квадратные скобки , фигурные скобки , угловые скобки |
В алгебре приоритет разных скобок не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления . | ||
∥ | AB ∥ CD | прямая AB параллельна прямой CD | ||
⊥ | прямая AB перпендикулярна прямой CD | |||
a — делитель b | или, что то же, b кратно a |
Операции
[править | править код]Обозначение | Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|---|
+ | a + b | a плюс b | |
− | a − b | a минус b | |
± | a ± b | a плюс-минус b | |
∓ | a ∓ b | a минус-плюс b | −(a ± b) = −a ∓ b |
... | ... | ... | ... |
⋮ |
Функции
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
функция f определена на D и принимает значения в C | Используется для явного указания областей определения и значения для функции. | |
Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения. | ||
⋮ |
Показательная и логарифмическая функции
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
e | основание натуральных логарифмов | e = 2,71828... |
ex | показательная функция с основанием e | |
логарифм с основанием | ||
lb x | двоичный логарифм (с основанием 2) | lb x = |
ln x | натуральный логарифм (с основанием e) | ln x = |
lg x | десятичный логарифм (с основанием 10) | lg x = |
... | ... | ... |
⋮ |
Круговые и гиперболические функции
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
отношение длины окружности к её диаметру | = 3,14159... | |
... | ... | ... |
⋮ |
Комплексн��е числа
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
i j | мнимая единица; | в электротехнике вместо используется символ . |
Re z | вещественная часть z | z = x + i y, где x = Re z и y = Im z |
Im z | мнимая часть z | |
∣z∣ | абсолютная величина z; модуль z | Иногда обозначается mod z |
arg z | аргумент z; фаза z | , где r = ∣z∣, φ = arg z, При этом Re z = r cos φ, Im z = r sin φ |
z* | (комплексно-) сопряжённое к z число | Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки |
sgn z | sgn z | sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) для z ≠ 0, sgn 0 = 0 |
Матрицы
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
A | матрица A | ... |
... | ... | ... |
⋮ |
Системы координат
[править | править код]Координаты | Радиус-вектор точки | Название системы координат | Комментарии |
---|---|---|---|
x, y, z | прямоугольная система координат (декартова) | x1, x2, x3 для координат и e1, e2, e3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. ex, ey, ez образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k. | |
ρ, φ, z | цилиндрическая система координат | eρ(φ), eφ(φ), ez образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то ρ и φ — полярные координаты. | |
r, θ, φ | сферическая система координат | er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис. |
Векторы и тензоры
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
a |
вектор a | векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой[4]. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka. |
... | ... | ... |
⋮ |
Специальные функции
[править | править код]Пример | Смысл и пояснения | Комментарии |
---|---|---|
цилиндрические функции Бесселя (первого рода) | ... | |
... | ... | ... |
⋮ |
Стандарт ISO 80000-2
[править | править код]Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):
- Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
- Элементарная геометрия (Elementary geometry).
- Комбинаторика (Combinatorics).
- Преобразования (Transforms).
Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ ISO 80000-2.
- ↑ ISO 80000-2:2019 Архивная копия от 13 апреля 2021 на Wayback Machine.
- ↑ 1 2 Thompson, Ambler; Taylor, Barry M. Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing (англ.). — Gaithersburg, MD, USA: Национальный институт стандартов и технологий, 2008. Архивировано 3 июня 2016 года.
- ↑ Другие встречающиеся варианты записи (например, чёрточка над буквой или готический шрифт) в стандарте не упоминаются.
Ссылки
[править | править код]- ISO 80000-2:2009 . Международная организация по стандартизации. Дата обращения: 12 августа 2019.