函數最高點同最低點

因為${\displaystyle s^{\star }:=\sup S}$，如果有一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，咁${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}}$就唔係一個上限界。

咁即係就會有一個${\displaystyle x_{n}\in I}$符合${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n}}<f(x_{n})\leq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }$。

因為${\displaystyle I}$係被綁定，咁數列${\displaystyle X:=(x_{n})}$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係趨向一點${\displaystyle x^{\star }}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係喺${\displaystyle I}$入面，所以${\displaystyle x^{\star }\in I}$都會係喺${\displaystyle I}$入面。

因為${\displaystyle f}$係喺${\displaystyle x^{\star }}$呢點度連續，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$會趨向${\displaystyle f(x^{\star })}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係${\displaystyle (x_{n})}$嘅子數列，所以${\displaystyle s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}<f(x_{n_{k}})\leq s^{\star }}$成立。

因為${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }-{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }-0=s^{\star }}$，${\displaystyle \lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })}$，${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }=s^{\star }}$，利用夾縫定理得知${\displaystyle s^{\star }<f(x^{\star })\leq s^{\star }}$，即係${\displaystyle f(x^{\star })=s^{\star }}$。

因為${\displaystyle s_{\star }:=\inf S}$，如果有一個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，咁${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}}$就唔係一個下限界。

咁即係就會有一個${\displaystyle x_{n}\in I}$符合${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n}}>f(x_{n})\geq s^{\star },\forall n\in \mathbb {N} }$。

因為${\displaystyle I}$係被綁定，咁數列${\displaystyle X:=(x_{n})}$都係被綁定。

利用保西奴-華實斯定理，得知有子數列${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係趨向一點${\displaystyle x_{\star }}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係喺${\displaystyle I}$入面，所以${\displaystyle x_{\star }\in I}$都會係喺${\displaystyle I}$入面。

因為${\displaystyle f}$係喺${\displaystyle x_{\star }}$呢點度連續，所以${\displaystyle f(x_{n_{k}})}$會趨向${\displaystyle f(x_{\star })}$。

因為${\displaystyle (x_{n_{k}})}$係${\displaystyle (x_{n})}$嘅子數列，所以${\displaystyle s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}>f(x_{n_{k}})\geq s_{\star }}$成立。

因為${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }+{\frac {1}{n_{k}}}=s^{\star }+0=s^{\star }}$，${\displaystyle \lim _{n}f(x_{n_{k}})=f(x^{\star })}$，${\displaystyle \lim _{n}s^{\star }=s^{\star }}$，利用夾縫定理得知${\displaystyle s^{\star }>f(x^{\star })\geq s^{\star }}$，即係${\displaystyle f(x_{\star })=s_{\star }}$。