循環群(Cyclic Group)係一類群,係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以
嚟表示。
最簡單嘅循環群有加法
,咁
同
都係整群出嚟嗰粒嘢,一般會叫呢兩粒嘢做生產元素(Generators)。如果
係正數,
加
咁多次。如果
係負數,
加
咁多次。
如果
係一個群。如果
係
入面嘅嘢,咁
就係一個子群。
證明:
因為
,
唔係空集。
設
。
,利用一步子群要求,
就
嘅子群。
,係
嘅環單元(Units),
。
因為
而
,所以
。
喺
,
。
喺
,
。
係
入面每一粒嘢。
,對應
。係一個循環群。
同
都係整群出嚟嘅嘢。
。可以得知,
。
但係
,因為
每一個循環群嘅子群都一定係循環群。(Every subgroup of cyclic Group is cyclic.)
證明:
設
係循環群,即係
。
就係
嘅子群。
如果
係得一粒
,咁
。
如果
唔係淨係得
,即係揀任何一粒
入面嘅嘢,
;
,
係整數。
設
係最細整數,令到
,同埋
係
入面是但一粒嘢。
因為
係
嘅子群,所以
,對應有啲
。
利用餘數定理,就有兩個數
,符合
。(同時,
)
咁
,
。
因為
係子群,所以
嘅逆元就係
。
所以
,同埋
。
但係因為
係最細整數,令到
,同時
;
所以
。
正正因為
,所以
。
如果
係一個群,
。
如果
嘅基數係有限,
,咁
同埋
。
如果
嘅基數係無限,咁
。
證明:
如果
係無基數,咁無一個非零嘅
符合
。
因為
,所以
。因此
。
如果
係有基數,
。
揀任何一粒
。
利用餘數定理,有兩粒
,
。(同時
)
咁
,
所以
。
如果
,
。
利用餘數定理,有兩粒
,
同埋
。
咁
。
因為
係最細整數令到
,所以
,
。
如果
,咁
。
,所以
。
任何
,
。
係一個群,
同埋佢嘅基數係
。
如果
,咁
。
設
係一個群,
同埋佢嘅基數係
,
係正整數。
咁
,
。
證明:
設
。同埋,
。
因為
,咁
。
利用比舒公式,有兩個數
,
。
所以
。
(想要證明
)
,所以
。
如果有一個整數
係細過
,咁根據
嘅定義
。
利用
,
。
整細個生產表示。例如
,咁
,
。
喺有限嘅循環群入面,元素嘅基數除得盡群嘅基數。
設
。
咁
,同埋
。
設
。
咁
同
。
係
入面嘅整數
,佢係整
出嚟