實際數
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實際數(practical number)是指一正整數n有許多因數,所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真因數和表示。例如12的真因數有1, 2, 3, 4及6,而1至11的數字中有幾個不是12的真因數,但都可以表示為數個相異真因數的和:5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。
以下是實際數的列表(OEIS數列A005153):1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
12,13世紀的義大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中,在說明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數,但其中有一個表,其中有許多分數的分母為實際數[1]。
實際數(practical number)一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用,他希望可以找出有這類性質的數字[2],此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成[3][4]。利用正整數的質因數分解可以判斷是否是實際數,所有2的冪及偶數的完全數都是實際數。
已發現實際數和質數有許多類似的特質[5][6][7][8]。
實際數的充份必要條件
[編輯]一個正整數可以由其質因數分解看出是否是實際數[3][4],一正整數,其中,質因數為,其為實際數若且唯若,且對於每個2到k之間的i:
其中為x的除數函數。
例如3 ≤ σ(2)+1 = 4,29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40,及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171,因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606為一實際數。
由於以上條件成立時,才能用其他較小的因數和表示,因此是一正數為實際數的必要條件。上述條件也是一正數為實際數的充份條件。
和其他數列的關係
[編輯]所有2的冪都是實際數[2]。2的冪的質因數分解滿足實際數的充份必要條件:第一個質因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數[2]:依照歐拉的研究,偶數的完全數可以表示為2n − 1(2n − 1),其奇數的質因數可以用其他偶數部份的除數函數來表示,因此也滿足實際數的充份必要條件。
任一個質數階乘也都是實際數[2]。根據伯特蘭-切比雪夫定理,質數階乘中最大的質數會小於次大質數和最小質數(2)的乘積,因此滿足實際數的充份必要條件。前k個質數冪次的乘積也都是實際數,包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數[2]。
和埃及分數的關係
[編輯]若n為實際數,則小於1的有理數m/n可以表示∑di/n來表示,其中di為n的相異因數,此式的每一項都可以化簡為單位分數,因此此式即為m/n的埃及分數表示式。例如
斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中列出許多用埃及分數表示有理數的方式,首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數,再來則是設法將分子表示為分母因數的和,此方式只在分母為實際數時有效[1]。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時,分數用埃及分數表示時的表示式。
和質數的類似之處
[編輯]實際數特別的一點是其許多性質都類似質數。例如假設p(x)為小於x實際數的個數,Saias證明存在常數c1及 c2使得下式成立[8]:
以上公式可以對應素數的素數定理。此證明解答了Margenstern的猜想:存在特定常數c,使得p(x)漸近於cx/log x[6]。也強化了保羅·埃爾德什所提出:實際數在正整數中的密度為0的論點[9]。
實際數也有對應哥德巴赫猜想及孿生質數猜想的定理:每一個偶數可以表示為二個實際數的和,以及存在無限多個 x − 2, x, x + 形式的實際數[7]。Melfi也證明在斐波那契數列中存在無限多個實際數,素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契質數,此問題仍為開放問題,還沒有被證明,但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若x為正實數,在[x2,(x + 1)2]區間內存在實際數,可以對應質數中的勒讓德猜想[5]。
參考資料
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Srinivasan, A. K., Practical numbers (PDF), Current Science, 1948, 17: 179–180 [2013-01-13], MR 0027799, (原始內容存檔 (PDF)於2019-11-16)
- ^ 3.0 3.1 Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, 76 (4): 779–785, JSTOR 2372651, MR 0064800, doi:10.2307/2372651
- ^ 4.0 4.1 Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762
- ^ 5.0 5.1 Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N., On practical numbers, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, 37 (5): 705–713, MR 0752596, doi:10.1002/cpa.3160370507
- ^ 6.0 6.1 Margenstern, Maurice, Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, Journal of Number Theory, 1991, 37 (1): 1–36, MR 1089787, doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8
- ^ 7.0 7.1 Melfi, Giuseppe, On two conjectures about practical numbers, Journal of Number Theory, 1996, 56 (1): 205–210, MR 1370203, doi:10.1006/jnth.1996.0012
- ^ 8.0 8.1 Saias, Eric, Entiers à diviseurs denses, I, Journal of Number Theory, 1997, 62 (1): 163–191, MR 1430008, doi:10.1006/jnth.1997.2057
- ^ Erdős, Paul; Loxton, J. H., Some problems in partitio numerorum, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979, 27 (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X
外部連結
[編輯]- Tables of practical numbers (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) compiled by Giuseppe Melfi
- Practical Number at PlanetMath.
- 埃里克·韋斯坦因. Practical Number. MathWorld.
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