艾森斯坦整數
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各式各樣的數 |
基本 |
延伸 |
其他 |
艾森斯坦整數是具有以下形式的複數:
其中a和b是整數,且
是三次單位根。艾森斯坦整數在複平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。
性質
[編輯]艾森斯坦整數在代數數域中形成了一個代數數的交換環。每一個z = a + bω都是首一多項式
的根。特別地,ω滿足以下方程:
因此,艾森斯坦整數是代數數。
因此它總是整數。由於:
因此非零艾森斯坦整數的範數總是正數。
艾森斯坦整數環中的可逆元群,是複平面中六次單位根所組成的循環群。它們是:
- {±1, ±ω, ±ω2}
它們是範數為一的艾森斯坦整數。
艾森斯坦素數
[編輯]設x和y是艾森斯坦整數,如果存在某個艾森斯坦整數z,使得y = z x,則我們說x能整除y。
它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸素數的概念:一個非可逆元的艾森斯坦整數x是艾森斯坦素數,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次單位根的任何一個。
我們可以證明,任何一個被3除餘1的素數都具有形式x2−xy+y2,因此可以分解為(x+ωy)(x+ω2y)。因為這樣,它在艾森斯坦整數中不是素數。被3除餘2的素數則不能分解為這種形式,因此它們也是艾森斯坦素數。
任何一個艾森斯坦整數a + bω,只要範數a2−ab+b2為素數,那麼就是一個艾森斯坦素數。實際上,任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式,要麼就是一個可逆元和一個被3除餘2的素數的乘積。
歐幾里德域
[編輯]艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域,其範數N由以下的公式給出:
這是因為:
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
- Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
- Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
- Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.