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La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.
- Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{++}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{++}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cb509524e51a4370afab22468530aebf156270)
- En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive[1].
- Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{+}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {O} _{n}(\mathbb {R} )\times \operatorname {S} _{n}^{+}(\mathbb {R} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea85be10dce01c10aaa5e0c70cc6f44abe401ef)
- En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique)[1].
- Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{++}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{++}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ\end{array}}\right.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90926fa03f60793b29e7fa58a7e344b7e2f9d833)
- En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive[2],[3].
- Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{+}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &QS\end{array}}\right.\quad \left\{{\begin{array}{lll}\operatorname {U} _{n}(\mathbb {C} )\times \operatorname {H} _{n}^{+}(\mathbb {C} )&\to &\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )\\(Q,S)&\mapsto &SQ.\end{array}}\right.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961b700b93c94aa47f1e84b4c4635d3a97cf9ee8)
- En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une unique matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique)[2].
Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture
d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.
L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe (2 matrices symétriques positives sont reliées par un segment à valeur dans SO(R)) donc contractile. Il en résulte que
a le même type d'homotopie que
et que
a le même type d'homotopie que
.
- Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18-20
- Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »
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