Matrice à diagonale dominante
Apparence
En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors :
De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque :
Lemme de Hadamard
[modifier | modifier le code]Le « lemme de Hadamard »[1] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.
Si est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.
Corollaire
[modifier | modifier le code]Soit A une matrice hermitienne.
- Si A est à diagonale dominante alors, elle est positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.
- Si A est �� diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs[2].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diagonally dominant matrix » (voir la liste des auteurs).
- Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, , 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31
- Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.