Przejdź do zawartości

Funkcja τ

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykres funkcji dla argumentów od 1 do 250

Funkcja τ (tau) – funkcja na zbiorze dodatnich liczb naturalnych, używana w teorii liczb. Jej wartość to liczba dzielników danej liczby[1][2].

Dla dowolnej liczby funkcja określona jest jako:

Wzór można też zapisać inaczej:

Uogólnieniem funkcji tau są funkcje σ (sigma); funkcja tau to funkcja sigma stopnia zerowego[potrzebny przypis].

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Wiedząc, że funkcja ta jest multiplikatywna[1] oraz że dla dowolnej liczby pierwszej i dowolnej liczby całkowitej nieujemnej zachodzi[3]:

(ponieważ dzielnikami liczby są: ) otrzymujemy wzór ogólny dla funkcji

Niech

gdzie:

– liczba czynników pierwszych,
– wykładniki w rozkładzie na czynniki pierwsze,
– parami różne czynniki pierwsze.

Wtedy[2]:

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to mamy dwa dzielniki pierwsze: ponieważ czyli Można zatem obliczyć w sposób następujący:

Faktycznie, zbiór dzielników liczby 24 to zbiór którego moc wynosi 8.

Pierwsze wartości przyjmowane przez funkcję (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A000005 w OEIS) to:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dzielniki liczby 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. a b Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, wyd. 3., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, s. 98, 110, ISBN 83-01-14015-1, OCLC 749285993 [dostęp 2022-07-07].
  2. a b Adam Neugebauer, Matematyka olimpijska. 1, Algebra i teoria liczb, wyd. 2, t. 143–144, Kraków: Wydawnictwo Szkolne OMEGA, 2018, ISBN 978-83-7267-710-5, OCLC 1055646686 [dostęp 2022-07-07].
  3. Eric W. Weisstein, Divisor Function [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-07-07] (ang.).