Przejdź do zawartości

Szereg Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Szereg Dirichleta jest dowolnym szeregiem postaci

gdzie: należy do zbioru liczb zespolonych oraz jest ciągiem o wartościach zespolonych. Jest to szczególny przypadek ogólnego szeregu Dirichleta.

Szerg Dirichleta odgrywa ważną rolę w analitycznej teorii liczb. Najczęściej spotykana definicja funkcji dzeta Riemanna jest szeregiem Dirichleta, podobnie jak L-funkcje Dirichleta. Przypuszcza się, że klasa Selberga szeregu zachowuje się zgodnie z Uogólnioną Hipotezą Riemanna. Szereg jest nazwany ku czci Petera Gustava Lejeune’a Dirichleta.

Zastosowanie w kombinatoryce

[edytuj | edytuj kod]

Szereg Dirichleta może zostać wykorzystany jako funkcja tworząca do zliczania ważonych zbiorów obiektów z uwzględnieniem wag.

Załóżmy, że jest zbiorem z funkcją przypisującą wagę każdemu elementowi załóżmy także, że włóknem nad każdą liczbą naturalną w tej wadze jest zbiór skończony. Nazwijmy taką parę zbiorem ważonym. Załóżmy dodatkowo, że jest liczbą elementów o wadze Wówczas możemy zdefiniować formalny szereg Dirichleta będący funkcją tworzącą dla z uwzględnieniem w następujący sposób:

Zauważmy, że jeśli i są rozłącznymi podzbiorami pewnego zbioru ważonego to szereg Dirichleta dla ich sumy mnogościowej jest równy sumie ich szeregów Dirichleta:

Ponadto, jeśli i są dwoma zbiorami ważonymi i zdefiniujemy funkcję wagi jako

dla każdego należącego do i dla każdego należącego do otrzymamy następujący rozkład szeregu Dirichleta z iloczynu kartezjańskiego:

Wynika to bezpośrednio z faktu, że

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]