曲線(curve,curved line)是平滑彎曲的線段或線條,也指動點運動方向連續變化的軌跡。
在數學上,一條曲線的定義為:
- 設
為一實數區間,即實數集的非空子集,那麼曲線c 就是一個連續函數c : I → X 的映像,其中X 為一個拓撲空間。
我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為
。
若f是單射的,則 c是簡單曲線(simple curve)。
若
和
,f是閉曲線(closed curve)或環圈。
一般來說,當在
下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時,那方程就叫那曲線的曲線方程(curvilinear equation,curve equation)。
例如,
是單位圓的曲線方程,因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程;因這些點組成一個單位圓,故該方程正代表着平面上的單位圓。
若
,則其長度是
例如,若一條平面曲線可表達成標準方程
,那麼它的長度就是:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262e9f6e765c4dfb9bc054723e758fe60db72051)
其中
、
為
的上下限。
若平面曲線可表達成參數方程
,那麼它的長度就是:
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675077163742fe46947414b5ec3989caa11b0919)
其中
、
為
的上下限。