Levi-Civita-symbol
Levi-Civita-symbolet er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som permutasjonssymbolet og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., N. For hver verdi av N finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.
Definisjon
[rediger | rediger kilde]Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor ε av rang n som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som εi1i2 ... in og oppfyller betingelsen
for hvert ombytte av to vilkårlige indekser.[1] Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være n!. De kan alle finnes fra
hvor p kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og (−1)p er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved ε12…n som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil
når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.
Determinanter
[rediger | rediger kilde]En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en n × n matrise A med elementer Aij kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet.[2] Da er den gitt som
eller kan finnes fra den ekvivalente formen
når man igjen summerer over alle par med like indekser.
Anvendelser
[rediger | rediger kilde]Betegnelsen «det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.
To dimensjoner
[rediger | rediger kilde]Når antall dimensjoner er n = 2, har symbolet bare to komponenter ε12 = 1 og ε21 = -1 som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved matrisen
Komponentene oppfyller nå den viktige likheten
hvor Kronecker-symbolet δij opptrer på høyre side. Den får bare bidrag når i ≠ j and m ≠ n og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man m = i, blir dermed εij εin = δjn. Dermed er εij εij = δjj = 2 som forventet i n = 2 dimensjoner.
Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen
På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.
Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri.[3] Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.
Tre dimensjoner
[rediger | rediger kilde]![](http://178.128.105.246/host-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Permutation_indices_3d_numerical.svg/210px-Permutation_indices_3d_numerical.svg.png)
Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra ε123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da ε213 = -1 og ε231 = 1. De tre like komponentene ε123 = ε231 = ε312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene ε132 = ε321 = ε213 = -1 finnes ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.
Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen.[2] Kryssproduktet av to vektorer u = (u1, u2, u3) og v = (v1, v2, v3) er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen
ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer u, v and w blir dermed
Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at
som følger fra det generelle produktet
For eksempel, det vektorielle trippelproduktet reduseres til
Resultatet er antisymmetrisk i vektorene v og w som det skal være.
På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,
når man benytter at ei⋅el = δil og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.
Fire dimensjoner
[rediger | rediger kilde]I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen ε1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir ε4321 = - ε3214 = - ε2134 = ε1234 = 1, mens ε4123 = - ε1234 = - 1.
Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater xμ = (ct,x,y,z) hvor c er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene η00 = +1 og η11 = η22 = η33 = - 1. Sammen med de kontravariante komponentene ημν = (1, -1, -1, -1) kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer ε0123 = + 1, vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene
som gir ε0123 = - 1 og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.
Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er
som ved kontraksjon mellom indeksene α og ρ gir
En videre kontraksjon mellom σ og β gir da som forventet
da i fire dimensjoner.
Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene og
- .
Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at
Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.[4]
Levi-Civita-tensor
[rediger | rediger kilde]Determinanten til en N × N matrise A = (Aij) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har
Hvis man i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater xm innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen xm = xm(xμ ), er elementene til transformasjonsmatrisen A
Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen[1]
Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang N under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(A) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken
hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som gmn = δmn. Herav følger derfor at determinanten g = det(gμν) er gitt som kvadratet av det(A). Definerer man derfor størrelsen
vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er Levi-Civita-tensoren som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien
i et generelt koordinatsystem hvor g er determinanten til metrikken for disse koordinatene.
Volumformen
[rediger | rediger kilde]Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell N-form
som ofte blir omtalt som volumformen[5]. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner
Da blir denne 3-formen
og har størrelsen dV = r 2 sinθ dr dθ dφ som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.
Referanser
[rediger | rediger kilde]- ^ a b D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill, New York (1988). ISBN 0-07-033484-6.
- ^ a b G.E. Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1953). ISBN 0-486-60109-9.
- ^ P. Labelle, Supersymmetry demystified, McGraw-Hill, New York (2010). ISBN 978-0-07-163641-4.
- ^ C. Itzykson and J.B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill International Book Company, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.
- ^ C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.