Virialteoremet
![](http://178.128.105.246/host-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/84/Coma_cluster_leo.jpg/320px-Coma_cluster_leo.jpg)
Virialteoremet i klassisk mekanikk gir en sammenheng mellom middelverdien til den kinetiske energien og middelverdien til den potensielle energien i et system. Det ble formulert på et mer generelt vis av den tyske fysiker Rudolf Clausius rundt 1870 som benyttet det for å få en bedre forståelse av egenskapene till en samling partikler med gjensidige vekselvirkninger når de er i termisk likevekt. Siden er teoremet benyttet i mange andre sammenhenger og da spesielt innen astrofysikk og kosmologi. Navnet er en avledning av det latinske order vis for kraft.
Når systemet inneholder N partikler, sier det generelle teoremet på matematisk form at middelverdien til deres kinetiske energi T er gitt som
der middelverdien på høyre side involverer kraften som virker på partikkelen med posisjon Summen av indreproduktene til disse to vektorene definerer «virialet» for systemet. For et konservativt system kan den uttrykkes ved den potensielle energien til systemet.[1]
Utledning
[rediger | rediger kilde]For en ikke-relativistiske partikkel er dens impuls og hastighet forbundet med når den har masse Hvis man summerer skalarproduktene mellom disse to vektorene for alle N partikler i systemet, gir det
som er den doble, kinetiske energien til systemet. Dermed er det naturlig å betrakte den relaterte størrelsen hvis tidsderiverte er
da Newtons andre lov sier at er den totale kraften som virker på partikkelen med posisjon På denne formen er man bare kommet frem til en identitet i klassisk mekanikk.[2]
Teoremet fremkommer hvis man nå midler denne identiteten over et langt tidsrom τ. Venstresiden er da
Anvendes dette resultatet på et periodisk eller bundet systemet hvor alle variable tar endelige verdier, blir dette null når tiidsmidlet tas over et veldig langt tidsrom. Det gir
der de to middelverdiene beregnes på samme måte. Dette er virialteoremet på sin mest generelle form.[1]
Konservative system
[rediger | rediger kilde]Teoremet får sin viktigste konsekvens for konservative system der kraften på en partikkel kan avledes fra den potensielle energien U til hele systemet,
I tillegg må man anta at den kan splittes opp i påvirkningen fra alle andre partikler via et to-partikkelpotensial der den skalare størrelsen angir avstanden mellom dem. Den totale, potensielle energien til systemet er da
Det betyr at den totale kraften som inngår i teoremet, kan skrives som hvor
er kraften fra partikkelen i posisjon på den i posisjon Da er automatisk slik at Newtons tredje lov err oppfylt.[3]
På denne måten kommer man frem til
slik at virialteoremet for konservative system blir
Den midlere, kinetiske energien er dermed gitt ved middelverdien til den deriverte av to-partikkelpotensialet over alle partiklene i systemet.[3]
Homogent potensial
[rediger | rediger kilde]Virrialteoremet tar en spesielt enkel form når det konservative potensialet er homogent, det vil si at det oppfyller Det betyr at det er en potensfunksjon av formen Da blir som innsatt i virialteoremet gir
Den midlere kinetiske energi kan derfor direkte finnes fra den midlere potensielle energien. Det er velkjent fra den harmoniske oscillatoren hvor slik at Likedan for et Coulomb-potensial med gir teoremet at Da venstresiden her må være positiv, gjelder dette bare for et attraktivt potensial. Det reflekterer nødvendigheten for at bevegelsen til systemet må være bunden for at virialteoremet skal kunne anvendes.[2]
Da systemets totale energi er konstant, vil man nå ha
For et gravitasjonspotensial eller Coulomb-potensial er derfor den midlere, kinetiske energien
Anvendelser
[rediger | rediger kilde]En galakse kan bestå av mange millioner eller milliarder med stjerner som blir holdt sammen av gravitasjonskrefter, det vil si at de skyldes et homogent vekselvirkningspotensial med Den midlere, kinetiske energien til stjernene i galaksen kan nå skrives som
når hver av dem har massen og hastigheten relativt til tyngdepunktet til galaksen. På høyresiden er summen over bidragene fra alle stjernene forenklet ved å innføre den totale massen og deres midlere, kvadratiske hastighet Den kan måles av astronomene ved å observere stjernenes rødforskyvninger.
Hvis nå massen av lysende stjerner er den totale massen i galaksen, vil den midlere, potensielle energien til alle stjernene ha en verdi
Her inngår en numerisk faktor fra Newtons gravitasjonslov samt galaksens radius som kan observeres. Sammenholdes dette med virialteoremet viser det seg at dette ikke er oppfylt. Den potensielle energien må være mye større enn hva den synes å være fra observasjonene. Det er blandt annet fra slike betraktninger man er kommet frem til at galakser må inneholde en stor mengde ekstra masse som ikke sender ut lys. Den omtales i dag som mørk materie og utgjør i et virkelig mysterium i moderne kosmologi.[4]
Mørk materie ble foreslått av den sveitsiske fysiker og astronom Fritz Zwicky i 1933. Han studerte på lignende vis Coma-hopen som inneholder et stort antall lysende galakser. Deres rødforskyvninger var på den tiden nylig blitt målt. I tillegg kunne han anslå hvor mange galakser en hop inneholder og massen til hver dem. Igjen viste virialteoremet at de må inneholde mye ikke-lysende materie i tillegg til de observerte galaksene.[5]
Statistisk mekanikk
[rediger | rediger kilde]Den aller første anvendelse av virialteoremet var i statistisk mekanikk da Johannes van der Waals i 1873 utledet sin tilstandsligning for reelle gasser. I tillegg til interne vekselvirkninger mellom partiklene beskrevet ved potensialet vil også kreftene fra veggene i volumet V da bidra i virialteoremet.
Når systemet er i termisk likevekt med temperatur T, kan den midlere, kinetiske energien beregnes fra kinetisk teori og er når den uttrykkes ved Boltzmanns konstant kB. Det fulle teoremet tar dermed formen
Det første leddet representerer bidraget fra kollisjonene som partiklene har med de omsluttende veggene. Hvis trykket i gassen er P, kan denne eksterne kraften skrives som hvor diet lille flateelementet har en retningsnormaal som er rettet inn i volumet. Dermed gir dette bidraget
i den kontinuerlige grensen der man kan gjøre bruk av divergensteoremet med Det siste bidraget fra interne krefter kan beregnes ved hjelp av statistisk mekanikk. Da har man
hvor er tettheten av partikler og er en «korrelasjonsfunksjon». Den beskriver sannsynligheten for å finne andre partikler i avstand r fra en gitt partikkel. Tilstandsligningen for en reell gass tar dermed formen
hvor korreksjonene til den ideelle gassloven finnes i det siste leddet.[6]
Gasser med lav tetthet
[rediger | rediger kilde]Den nøyaktige formen till vekselvirkningspotensialet er ikke kjent. Det kan ikke være noen homogen funksjon, og må være frastøtende for små separasjoner mellom partiklene da molekyler ikke kan trenge inn i hverandre. Dessuten må det være tiltrekkende for llitt større avstander slik at gassen kan kondensere og gå over til en væske ved lavere temperaturer.
Hvis tettheten av partikler er tilstrekkelig liten, kan man benytte den statistiske Boltzmann-fordelingen til å vise at korrelasjonsfunksjonen har formen
når man i eksponenten definerer For små avstander der potensialet er sterkt positivt, er denne funksjonen svært liten i overensstemmelse med forventingen om at sannsynligheten for å finne andre partikler så nærme skal være liten. Derimot for større avstander hvor potensialet går mot null, blir denne sannsynligheten fordi der vil det alltid finnes en annen partikkel.[6]
Med denne korrelasjonsfunksjonen blir tilstandsligningen nå
etter en partiell integrasjon. På dette viset kommer korreksjonen til ideell gass frem med et ledd som kalles den andre virialkoeffisienten B2. Ved en mer nøyaktig fremgangsmåte gyldig ved større tettheter, vil korreksjonene opptre i en rekke med ledd av høyere orden i tettheten ρ . De tilsvarende koeffisientene kan systematisk beregnes, og man har en virial tilstandsligning.
Referanser
[rediger | rediger kilde]- ^ a b G.W. Collins, The Virial Theorem in Stellar Astrophysics, Pachart Publishing House (1978). PDF.
- ^ a b H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
- ^ a b L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Preess, London (1960).
- ^ S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, New York (1972). ISBN 0-471-92567-5.
- ^ G. Bertone and D. Hooper, A History of Dark Matter, Review of Modern Physics, 90, 45002 (2018). PDF.
- ^ a b J.E. Lay, Statistical Mechanics and Thermodynamics of Matter, Harper & Row Publishers, New York (1990). ISBN 0-06-043884-3.
Eksterne lenker
[rediger | rediger kilde]- LibreTexts, Virial Theorem, med forenklet fremstilling
- MathPages, The Virial Theorem, med interessante kommentarer