Kompleks de Rhama

Kompleksem de Rhama w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nazywamy kompleks łańcuchowy

${\displaystyle \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{n}){\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n}(\mathbb {R} ^{n}),}$

gdzie:

• ${\displaystyle \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ jest ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$-modułem q-form różniczkowych

dla każdego ${\displaystyle q\in \{1,2,\dots ,n\},}$

• ${\displaystyle d}$ jest operatorem różniczkowania form różniczkowych.

Elementy jądra operatora ${\displaystyle d}$ nazywamy formami zamkniętymi, a elementy obrazu nazywamy formami dokładnymi. Kompleks de Rhama umożliwia rozwiązywanie układów równań różniczkowych w zbiorze form zamkniętych. Na przykład aby znaleźć w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ zamknięte formy postaci

${\displaystyle fdx+gdy,}$

należy rozwiązać równanie różniczkowe

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$

Formami dokładnymi kompleksu de Rhama są znane z analizy: gradient, dywergencja i rotacja.

Za pomocą operatora różniczkowania form można sformułować twierdzenie Stokesa:

${\displaystyle {}\,\int \limits _{\partial D}\omega =\int \limits _{D}d\;\omega ,}$

gdzie ${\displaystyle D}$ jest obszarem w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ a ${\displaystyle \partial D}$ – jego brzegiem. Wynika stąd, że całka z formy zamkniętej na brzegu dowolnego obszaru jest równa zero.

W podobny sposób, jak w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ można zdefiniować kompleks de Rhama dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej. Zamiast przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ można rozważać przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ nad ciałem liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Niech ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ będą współrzędnymi w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Niech ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ będzie algebrą nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ generowaną symbolami ${\displaystyle dx_{1},\dots ,dx_{n}}$ i o działaniu ${\displaystyle \wedge ,}$ dla których spełnione są dwie zależności:

• ${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=(dx_{i})^{2}=0,}$
• ${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i},i\neq j.}$

Jako przestrzeń wektorowa nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ algebra ${\displaystyle \Omega ^{*}}$ ma bazę:

${\displaystyle 1,}$

${\displaystyle dx_{i},}$

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}}$ dla ${\displaystyle i<j,}$

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}}$ dla ${\displaystyle i<j<k,}$

...,

${\displaystyle dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}.}$

Algebrą ${\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})}$ jest algebra

${\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{*},}$ gdzie ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ jest algebrą funkcji gładkich na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Elementy algebry ${\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})}$ nazywamy formami różniczkowalnymi na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Jeżeli ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n}),}$ to formę ${\displaystyle \omega }$ można przedstawić jednoznacznie w postaci^[1]:

${\displaystyle \omega =\sum f_{i_{1}\cdots i_{q}}dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{q}}=\sum f_{I}dx_{I},}$ gdzie ${\displaystyle 1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{q}\leqslant n,}$ a ${\displaystyle f_{i_{1}\cdots i_{q}}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Jeśli dla każdego składnika sumy ${\displaystyle \omega =\sum f_{i_{1}\cdots i_{q}}dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{q}}}$ liczba q jest stała, to formę ${\displaystyle \omega }$ nazywa się gładką q-formą i zapisuje się ten fakt następująco:

${\displaystyle \omega \in \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}),}$

gdzie ${\displaystyle \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ jest modułem nad pierścieniem ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$ Można to także zapisać ${\displaystyle deg(\omega )=q.}$

W module ${\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})}$ określona jest gradacja

${\displaystyle \Omega ^{*}(\mathbb {R} ^{n})=\bigoplus {_{q=0}^{n}}\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}).}$

Operator różniczkowania form różniczkowych

${\displaystyle d:\Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n})\to \Omega ^{q+1}(\mathbb {R} ^{n})}$

jest określony w następujący sposób^[2]:

1. Jeśli ${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{n}),}$ to ${\displaystyle df=\sum {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.}$
2. Jeśli ${\displaystyle \omega =\sum f_{I}dx_{I},}$ to ${\displaystyle d\omega =df_{I}\wedge dx_{I}.}$

Elementy jądra operatora różniczkowania są nazywane formami zamkniętymi, a elementy jego obrazu – formami dokładnymi. Każda forma dokładna jest zamknięta. Wynika to z równości ${\displaystyle d^{2}\omega =0.}$

• Jeśli ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\tau \in \Omega ^{q}(\mathbb {R} ^{n}),}$ to

${\displaystyle d(\omega \wedge \tau )=(d\omega )\wedge \tau +(-1)^{deg\,\omega }\omega \wedge \tau .}$

• ${\displaystyle d^{2}=0;}$ dowodzi się tej równości w dwóch etapach

dla funkcji ${\displaystyle d^{2}f=d\left(\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}\right)=\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},}$ gdzie współczynniki ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$ są symetryczne, a iloczyny ${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}}$ są antysymetryczne, bo ${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i},}$ skąd ${\displaystyle d^{2}f=0}$

dla form ${\displaystyle \omega =f_{I}dx_{I}}$ mamy ${\displaystyle d^{2}\omega =d(df_{I}\wedge dx_{I})=d^{2}f_{I}\wedge dx_{I}=0.}$

• Jeśli ${\displaystyle \omega =xdy,}$ to ${\displaystyle d\omega =dx\wedge dy.}$
• Dla przypadku przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ moduły ${\displaystyle \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{3})}$ i ${\displaystyle \Omega ^{3}(\mathbb {R} ^{3})}$ mają rangę 1 nad ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}).}$ Dlatego możliwe są następujące utożsamienia:

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{0}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{3}(\mathbb {R} ^{3}),}$

a konkretnie

${\displaystyle f\longleftrightarrow f\longleftrightarrow fdx\wedge dy\wedge dz.}$

• Dla przypadku przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ moduły ${\displaystyle \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$ i ${\displaystyle \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ mają rangę 3. Dlatego możliwe jest utożsamienie gładkich pól wektorowych, 1-form i 2-form:

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{3}\simeq \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})\simeq \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$

a konkretnie

${\displaystyle X=(f_{1},f_{2},f_{3})\longleftrightarrow f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz\longleftrightarrow f_{1}dx\wedge dy-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dy\wedge dz.}$

• W przestrzeni trójwymiarowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}{:}}$

Dla funkcji f forma ${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz}$ jest gradientem.

Dla 1-formy ${\displaystyle \omega =f_{1}dx+f_{2}dy+f_{3}dz}$ forma ${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial f_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial f_{3}}{\partial x}}\right)\,dx\wedge dz+\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy}$ jest rotacją.

Dla 2-formy ${\displaystyle \omega =f_{1}dy\wedge dz-f_{2}dx\wedge dz+f_{3}dx\wedge dy}$ forma ${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial z}}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz}$ jest dywergencją.

• Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer Verlag, 1982. Brak numerów stron w książce

• G. de Rham: Variétés differentiables. Hermann, 1956. Brak numerów stron w książce