Układ równań
![](http://178.128.105.246/host-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Linj%C3%A4r_-_icke_linj%C3%A4r.png/220px-Linj%C3%A4r_-_icke_linj%C3%A4r.png)
Układ równań – koniunkcja pewnej liczby równań; liczba ta może być nieskończona[1][2].
Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy rozwiązaniem układu równań jest część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.
Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.
Historia
[edytuj | edytuj kod]Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.
Układy równań liniowych
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. Wśród metod rozwiązywania układów równań można wymienić następujące:
- przez podstawianie (wyznaczenie jednej zmiennej z jednego równania i podstawianie do innego tak, by ostatecznie otrzymać jedno równanie),
- przeciwnych współczynników (zmiana współczynników tak, aby po dodaniu równań stronami niektóre ze zmiennych uległy redukcji),
- wzory Cramera,
- metoda eliminacji Gaussa.
W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:
Nazwa układu równań | Rozwiązanie algebraiczne | Warunek i przykład | Interpretacja graficzna |
---|---|---|---|
Oznaczony | rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y) | dwie proste przecinające się | |
Nieoznaczony | nieskończenie wiele rozwiązań | dwie proste pokrywające się | |
Sprzeczny | brak rozwiązań | lub |
dwie różne proste równoległe |
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ F.P. Sayer. Some Aspects of Infinite Systems of Linear Simultaneous Equations. „IMA Journal of Numerical Analysis”. 1983 3(3):333-340; doi:10.1093/imanum/3.3.333. [dostęp 2009-01-06].
- ↑ układ równań, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-12-22] .