Juuri (laskutoimitus)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png/250px-Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png)
Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa
,[1]
missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.
On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi on positiivinen irrationaaliluku.
Reaalilukujen juurifunktio
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Pääartikkeli: Juurifunktio
Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.
Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu,[2] eli juuren otto on bijektiivinen funktio.
Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen.[3] Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli
Perusominaisuudet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:
missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.
Kompleksilukujen juurifunktio
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä
on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.
Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:
- S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
- S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
- origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
- Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
- Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora
Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.
Katso myös
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Soo Tan: Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)