Nombre premier de Wolstenholme
Apparence
En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :
- .
Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo p3 (théorème de Wolstenholme), à la suite de Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo p2 en 1819.
On conjecture qu'il en existe une infinité[1], bien que[2],[3],[4] les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679 et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que 109.
Définitions équivalentes
[modifier | modifier le code]Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont équivalentes[5],[6] :
- p est un nombre premier de Wolstenholme ;
- ;
- p divise le numérateur du nombre de Bernoulli Bp–3 ;
- p > 7 et p divise le numérateur de .
Notes et références
[modifier | modifier le code](en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wolstenholme prime » (voir la liste des auteurs).
- (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, no 4, , p. 381-389 (lire en ligne).
- (en) Suite
A088164 de l'OEIS.
- (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Math. Comp., vol. 76, no 260, , p. 2087-2094 (lire en ligne).
- (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).
- (en) Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.
- (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p2 or p3 », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31, , p. 321-353 (lire en ligne) .