Teorema do coseno
O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:
- Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:
Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.[1]
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Triangle_with_notations_2.svg/280px-Triangle_with_notations_2.svg.png)
Historia
[editar | editar a fonte]Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo. A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas.[2] Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:
«Nos triángulos obtusángulos, o cadrado do lado oposto ao ángulo obtuso é maior que os cadrados dos lados que comprenden o ángulo obtuso en dúas veces o rectángulo comprendido por un lado dos do ángulo obtuso sobre o que cae a perpendicular e a recta exterior cortada pola perpendicular, até o ángulo obtuso.»Euclides, Elementos.[3]
Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Obtuse-triangle-with-altitude.png/220px-Obtuse-triangle-with-altitude.png)
Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani[4] xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra.[5][6] Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.[8]
Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.[9]
O teorema e as súas aplicacións
[editar | editar a fonte]O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo é recto ou, dito doutro xeito, cando , o teorema do coseno redúcese a:
que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Tri%C3%A1ngulo_con_un_%C3%A1ngulo_o_un_lado_desconocido.svg/220px-Tri%C3%A1ngulo_con_un_%C3%A1ngulo_o_un_lado_desconocido.svg.png)
O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar
- o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:
.
- os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.
Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'
.
Demostracións
[editar | editar a fonte]Por repartición de áreas
[editar | editar a fonte]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/Ley_de_cosenos_con_%C3%A1ngulo_agudo.svg/280px-Ley_de_cosenos_con_%C3%A1ngulo_agudo.svg.png)
Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que
- a², b², c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
- ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.
Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos
A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:
- En verde, as áreas a², b² á esquerda, e a área , c² á dereita.
- En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
- En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.
Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que , equivalente ao Teorema do coseno.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Ley_de_cosenos_con_%C3%A1ngulo_obtuso.svg/280px-Ley_de_cosenos_con_%C3%A1ngulo_obtuso.svg.png)
A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra
- En verde a², b² á esquerda e c² á dereita.
- En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
- En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.
Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá , como queríamos demostrar.
Polo teorema de Pitágoras
[editar | editar a fonte]Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.
Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/CosenosPorPitagoras1.svg/220px-CosenosPorPitagoras1.svg.png)
Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así:
(left)
Pero, a lonxitude h tamén se calcula así:
(left)
Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:
Pola definición de coseno, tense:
e polo tanto:
Substituímos o valor de u na ecuación para , concluíndo que:
co que conclúe a proba do primeiro caso.
Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/CosenosPorPitagoras2.svg/220px-CosenosPorPitagoras2.svg.png)
Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente pero neste caso . Combinando ambas ecuacións obtemos e deste xeito:
.
Da definición de coseno, tense e polo tanto:
.
Substituímos na expresión para c² e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente
.
Isto conclúe a demostración.
É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.
Pola potencia dun punto con respecto a un círculo
[editar | editar a fonte]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Cosenos_por_potencia_de_un_punto.svg/220px-Cosenos_por_potencia_de_un_punto.svg.png)
Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é
.
Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que
.
Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que
.
Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:
Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.
Polo cálculo vectorial
[editar | editar a fonte]Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:
Xeneralización en xeometrías non euclidianas
[editar | editar a fonte]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Spherical_triangle_with_notations.png/200px-Spherical_triangle_with_notations.png)
Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica
- .
Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:
- ,
- ,
- .
No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal[10] [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).
Xeometría esférica
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Xeometría esférica.
Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando
- ,
esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, : etc.
Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:
Xeometría hiperbólica
[editar | editar a fonte]- Artigo principal: Xeometría hiperbólica.
Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese
- .
Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados
- etc.,
- etc.
Xeneralización no espazo euclidiano
[editar | editar a fonte]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Tetrahedro_con_angulos_dihedrales.svg/260px-Tetrahedro_con_angulos_dihedrales.svg.png)
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:
(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).
Entón, as superficies e ángulos verifican:
- .
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). "Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude". Journal for the History of Arabic Science Aleppo 3 (2). páx. 219-227. Arquivado dende o orixinal o 23 de xaneiro de 2009. Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ Heath, Sir Thomas (1921). Londres, Inglaterra: Oxford University Press, ed. A history of Greek Mathematics vol. 1. OCLC 2014918.
- ↑ "Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides". Arquivado dende o orixinal o 03 de abril de 2012. Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ "Esquema del desarrollo histórico de la matemática" (PDF). Universidade Nacional do Nordeste. pp. páx. 6. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 27 de marzo de 2013. Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Universidade de Saint Andrews, ed. "Biografía de Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani". MacTutor History of Mathematics archive (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 19 de xuño de 2012. Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ "La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi" (en catalán). Arquivado dende o orixinal (html) o 05 de xullo de 2008. Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ "Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud" (en francés). Consultado o 21 de abril de 2012.
- ↑ Viète, François (1579). Lutetia Mettayer, ed. Canon mathematicus seu ad triangula. OCLC 165919384.
- ↑ Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons, ed. A History of Mathematics. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
- ↑ Na xeometría esférica o concepto de liña recta é substituído polo de xeodésica, que é a distancia máis curta entre dous puntos dados da mesma e esta é sempre unha liña que debe pertencer a unha circunferencia máxima (tamén chamada maximal). As circunferencias máximas son as liñas de intersección entre a superficie esférica e calquera plano que pase polo centro da mesma, con estas restricións pódese falar tamén de triángulos de lados xeodésicos. Os triángulos esféricos non cumpren con que a suma dos seus ángulos internos sexa 180°, mais a desigualdade triangular segue vixente na xeometría esférica.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Los Elementos, tomo II, Euclides. (en castelán)
- Law of cosines, en Math World (en inglés)
- Éfimov, N. (1981). Moscova : Éditions Mir, ed. Géométrie Supérieure. OCLC 11732242.
- Lions, Jacques Louis (1980). París : Didier, ed. Petite Encyclopédie des Mathématiques. OCLC 23703843.