Cosinussetningen
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Triangle_with_notations_2.svg/198px-Triangle_with_notations_2.svg.png)
Trigonometri |
Referanse |
Setninger |
Matematisk analyse |
I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at
der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til
som er Pythagoras' læresetning.
Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.
I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i hyperbolsk geometri.
Anvendelser
[rediger | rediger kilde]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg/240px-Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg.png)
Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)
- den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:
- vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:
- den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):
Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.
Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a2 − 2ab cosγ + b2 − c2 = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.
Bevis
[rediger | rediger kilde]Med vektorer
[rediger | rediger kilde]La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at
Med avstandsformelen
[rediger | rediger kilde]Betrakt en trekant med sider a, b, c, der er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte Ved å bruke avstandsformelen har vi . Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.
En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.
Med trigonometri
[rediger | rediger kilde]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Triangle-with-cosines.svg/300px-Triangle-with-cosines.svg.png)
Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)
(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:
Ved å betrakte de andre høydene får vi
Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi
- .
Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi
som kan forenkles til
Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.
Den utvidede cosinussetningen
[rediger | rediger kilde]Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.
Som kan forkortes til: