Notacja Diraca
Notacja Diraca (nawiasy Diraca, notacja bra-ket) – wprowadzony w 1939 przez Paula Diraca[1] do mechaniki kwantowej, sposób zapisywania działania form liniowych na stany kwantowe.
- tzw. ket, zapisywany „”, oznacza wektor w zespolonej przestrzeni liniowej (zwykle przestrzeni Hilberta); fizyczna interpretacja to stan kwantowy pewnego układu.
- tzw. bra, zapisywane „”, oznacza funkcjonał liniowy na przestrzeni (gdy jest przestrzenią Hilberta, zapis ten oznacza zwykle ciągły funkcjonał liniowy).
Działanie funkcjonału na wektorze zapisywane jest jako
Nazwy te biorą się z oznaczania iloczynu skalarnego dwóch stanów za pomocą nawiasu Po angielsku nawias to bracket, i stąd lewa i prawa część nawiasu to odpowiednio bra i ket. Notacja Diraca inspirowana była notacją używaną przez Grassmanna w operacjach na iloczynie skalarnym prawie 100 lat wcześniej.
Przestrzeń wektorowa
[edytuj | edytuj kod]Wstęp
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Aby lepiej wyobrazić sobie, czym jest notacja Diraca, dobrze jest rozpatrzyć wektor w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej rozpiętej nad ciałem liczb rzeczywistych, co zapiszemy:
Wektor może być zapisany jako liniowa kombinacja wektorów bazowych:
gdzie wektory są liniowo niezależne (a więc tworzą bazę), a liczby to odpowiadające im współrzędne.
W ogólności kiedy wektor znajduje się w N-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem (gdzie to np. lub ), wektor jest nadal kombinacją liniową wektorów bazowych:
Jednak może być wektorem w zespolonej przestrzeni Hilberta, a taka przestrzeń może mieć nieskończoną liczbę wymiarów. Wtedy w reprezentacji macierzowej byłoby nieskończenie wiele współrzędnych zespolonych. Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń .
Notacja ket
[edytuj | edytuj kod]Zamiast używać standardowych symboli, notacja Diraca używa dla wektorów pionowych kresek i trójkątnych nawiasów: Tak zapisane wektory nazywają się ket, a czytane jako ket-A. Można zapisać rozważany poprzednio wektor jako
co można zapisać w skrócie
gdzie oznaczają odpowiednio wektory jednostkowe
Iloczyn skalarny i notacja ket
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów jest liczba zespolona. Notacja Diraca posiada specjalny zapis dla iloczynu skalarnego
W trójwymiarowej przestrzeni zespolonej z półtoraliniowym iloczynem skalarnym (jak przestrzeń )
gdzie oznacza sprzężenie zespolone. W przypadku, gdy iloczyn skalarny jest kwadratem długości tego wektora
W notacji Diraca iloczyn skalarny można podzielić na dwie części, „bra” i „ket”
gdzie nazywane jest bra i czytane jako bra-A, a to ket.
Powodem, dla którego dzielimy iloczyn skalarny na bra i ket, jest to, iż obydwa obiekty mają swój własny sens i mogą być użyte w innym kontekście niż w iloczynie skalarnym. Można o nich myśleć na dwa sposoby.
Bra i kety jako macierze
[edytuj | edytuj kod]Dla przestrzeni wektorowej o skończonej liczbie wymiarów, używając ustalonych wektorów jednostkowych, iloczyn skalarnych można zapisać jako mnożenie macierzy postaci
Na tej podstawie można zdefiniować bra jako:
Sprzężenie hermitowskie bra to odpowiadające mu ket i vice versa:
ponieważ jeśli zastosuje się sprzężenie zespolone i transpozycje macierzy, to z:
otrzyma się:
Bra jako operator liniowy na ket
[edytuj | edytuj kod]- Osobny artykuł:
Równoważną definicją jest przyjęcie, że bra jest funkcjonałem linowym na ket, czyli operatorem, który z ket produkuje liczbę zespoloną.
Inaczej mówiąc, przestrzeń wektorowa bra jest przestrzenią dualną do przestrzeni wektorowej ket, a odpowiadające sobie ket i bra są w relacji według twierdzenia Riesza.
Zastosowanie w mechanice kwantowej
[edytuj | edytuj kod]Aparat matematyczny mechaniki kwantowej w dużej części bazuje na algebrze liniowej:
- Funkcje falowe i stany kwantowe mogą być przedstawione jako wektory w zespolonej przestrzeni Hilberta. (Szczególna struktura tej przestrzeni zależy od wybranej sytuacji). Przykładowym stwierdzeniem wykorzystującym notację Diraca mogłoby być „Elektron znajduje się w stanie ”. (Technicznie stany kwantowe są kierunkami wektorów w przestrzeni Hilberta; oznacza to, że stan c odnosi się do tego samego stanu dla każdego zespolonego c).
- Superpozycje stanów kwantowych mogą być opisane jako suma wektorów stanów składowych. Przykładowo stan elektronu jest superpozycją stanów i
- Pomiary w mechanice kwantowej są związane z operatorami liniowymi (zwanych obserwablami) w przestrzeni Hilberta stanów kwantowych.
- Normalizacja funkcji falowej ustala jej normę na 1.
Praktycznie wszystkie obliczenia w mechanice kwantowej zawierają wektory i operatory liniowe, dlatego można do nich wykorzystywać notację bra-ket. Pokazują to następujące przykłady:
Oznaczenia w notacji Diraca
[edytuj | edytuj kod]- wektory bazowe oznacza się: gdzie
- wektory bazowe sprzężone hermitowsko: oraz
- iloczyn skalarny wektorów z bazy ortonormalnej i wektorów z bazy
- iloczyn tensorowy wektorów bazowych:
- iloczyn zewnętrzny wektorów bazowych:
- sprzężenie hermitowskie iloczynu tensorowego:
- wektor o współrzędnych zapisany w bazie
- Inne wektory bazowe można oznaczyć na przykład:
- Operatory (macierze) oznacza się na przykład operator jednostkowy:
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ PAM Dirac. A new notation for quantum mechanics. „Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society”. 35 (3), s. 416–418, 1939. DOI: 10.1017/S0305004100021162.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Notacja Diraca
- J.H. Przytycki, Płaszczyzna kwantowa i q-wielomian drzew z korzeniem, arxiv.org/1512.03080.