Podprzestrzeń liniowa
Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór przestrzeni liniowej nad ciałem jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów i skalarów spełnione są warunki:
- [1].
Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że jest podzbiorem
Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Linear_subspaces_with_shading.svg/300px-Linear_subspaces_with_shading.svg.png)
- W każdej przestrzeni liniowej zbiory oraz cała przestrzeń są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą.
- W przestrzeni współrzędnych podzbiór złożony z wektorów postaci dla jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt
- Podobnie w przestrzeni podzbiór złożony z wektorów postaci gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty i
- W przestrzeni liniowej wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi:
- zbiór ciągów stałych,
- zbiór ciągów zbieżnych,
- zbiór ciągów zbieżnych do 0 (zob. przestrzeń c0),
- zbiór ciągów ograniczonych[2][3].
- Jeżeli jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.
Działania na podprzestrzeniach
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią liniową.
- Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni jest podprzestrzenią liniową[4]. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
- Dla rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni definiuje się ich sumę algebraiczną
- Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni [5].
- Dowód
- Niech
- Wówczas
- dla pewnych Oznacza to, że
- Niech zaś będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora co wyżej uzyskuje się
- Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę podprzestrzeni liniowych Ich sumę algebraiczną definiuje się jako
- Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.
- Osobny artykuł:
- Sumę algebraiczną nazywa się prostą, gdy dla stosuje się wówczas oznaczenie
Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni wraz z działaniami i tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna[6].
Wymiar i kowymiar
[edytuj | edytuj kod]- Zobacz też:
Niech będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.
Niech i będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Między wymiarami przestrzeni i zachodzi związek[7][8]
Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni że
to[10]
Niech oraz będą podprzestrzeniami Kowymiarem podprzestrzeni w oznaczanym nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej Jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową, to
Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru przestrzeni liniowej definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór (inne symbole: ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru tj.
Zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni która zawiera zbiór [2]. Zbiór nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń a przestrzeń podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru
Jeżeli zbiór generuje przestrzeń to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru generującego przestrzeń następujące warunki są równoważne
- zbiór jest bazą przestrzeni
- zbiór jest liniowo niezależny,
- każdy wektor przestrzeni można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru [11].
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Jeżeli i są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni to
- oraz
- Podprzestrzeń przestrzeni generowana przez zbiór opisana jest w drugim z przykładów.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Axler 1997 ↓, s. 13.
- ↑ a b Rutkowski 2006 ↓, s. 31.
- ↑ Rutkowski 2006 ↓, s. 233.
- ↑ Axler 1997 ↓, s. 17.
- ↑ Axler 1997 ↓, s. 14.
- ↑ Roman 2005 ↓, s. 39–40.
- ↑ Axler 1997 ↓, s. 33.
- ↑ a b Roman 2005 ↓, s. 50.
- ↑ Axler 1997 ↓, s. 36.
- ↑ Axler 1997 ↓, s. 34.
- ↑ Roman 2005 ↓, s. 46.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Sheldon Axler: Linear Algebra Done Right. Wyd. 2. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 1997.
- Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wyd. 5. PWN, 2006. ISBN 83-01-14388-6.
- Steven Roman: Advanced Linear Algebra. Wyd. 2. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, seria: Graduate Texts in Mathematics 135. ISBN 978-0-387-24766-3. (ang.).
Literatura dodatkowa
[edytuj | edytuj kod]- Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Cz. 2: Algebra liniowa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Szymon Charzyński, Podprzestrzenie wektorowe, kanał Khan Academy na YouTube, 14 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-22].