Baza standardowa
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fd/3D_Vector.svg/300px-3D_Vector.svg.png)
Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.
Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory
a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory
Powyższe wektory wskazują odpowiednio kierunki osi Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich
Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.
Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako
gdzie skalary są składowymi wektora
W -wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje różnych wektorów bazy standardowej
gdzie oznacza wektor z na -tej współrzędnej i wszędzie indziej.
Własności
[edytuj | edytuj kod]Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.
Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory
są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.
Uogólnienia
[edytuj | edytuj kod]Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.
Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny
gdzie jest dowolnym zbiorem, a to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli i równy jedności, jeśli Rodzina ta jest bazą kanoniczną -modułu (modułu wolnego) wszystkich rodzin z w pierścień które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że to czyli jedność w
Inne
[edytuj | edytuj kod]Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge’a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.
Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0-521-27635-7.
- Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1-55860-594-0.