S Wikipedije, slobodne enciklopedije
- Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.[1]
- Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice
poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica
poluprecnika b,
.
- Neka je koordinatni početak u centru kružnice
.
- Kružnicu
ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu
sa unutrašnje strane u tački
presjeka sa x osom.
- Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka
kada se kružnica
ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je
poslije vremena t ta tačka prešla u tačku
).
- Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina
luka kružnice
jednaka dužini luka kružnice
.
- Odnosno
![{\displaystyle a\theta =a(\theta +\varphi )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b37515e7ffb971e5d379d146a5b411cccdce8a)
- Ako se kružnica
ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
![{\displaystyle a\theta =kt}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda76c8f3e5f4cd0f6e9ae6da67163d8df7d5529)
- pri ćemu je k brzina kotrljanja.
- Dakle, ako uzmemo da se kružnica
kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo
![{\displaystyle \theta =t}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e05afcda9311a37ac0765af7f54977f600d634)
- pa se ugao
može tretirati kao vrijeme.
- Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su:
![{\displaystyle ((a-b)cos\theta ,(a-b)sin\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953c5e1c0511b4ef962a4a028002ed3089672cfe)
- Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
![{\displaystyle u=bcos(2\pi -\varphi )=bcos\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414be67021cba04b89658bd657ca34d237faa191)
![{\displaystyle v=bsin(2\pi -\varphi )=-bsin\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975b12bb200507464832d9037893e9f6c25aed9f)
- Iz
![{\displaystyle a\theta =a(\theta +\varphi )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b37515e7ffb971e5d379d146a5b411cccdce8a)
- dobijamo
![{\displaystyle x=(a-b)cos\theta +bcos({\frac {a-b}{b}}\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94205bfc7fc6f91b05a2291870308269dff90ef7)
[2]
- Neka je
cio broj, odnosno
, možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.
- Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.
- Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .
- Duzina luka hipocikloide je
, gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i
![{\displaystyle s=a:b}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3098358f0f484d41ed62cc1bc405c6a1f1472453)
- je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Dužina luka krive je
![{\displaystyle L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {{x^{,}}^{2}(\theta )+{y^{,}}^{2}(\theta )}}d(\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/741bd490b19ce8edb53989e68a73233f6a193f43)
![{\displaystyle x^{,}=-(a-b)sin\theta -(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )=-(a-b)(sin\theta +sin({\frac {a-b}{b}}\theta ))}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e16e972f7b6ef81da0fa64c25a62b6b5a8d30a)
![{\displaystyle y^{,}=(a-b)cos\theta -(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )=(a-b)(cos\theta -cos({\frac {a-b}{b}}\theta ))}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6385048d9b3eac517bf95c56056268197ff22b)
![{\displaystyle {x^{,}}^{2}=(a-b)^{2}(sin^{2}\theta +2sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )+sin^{2}({\frac {a-b}{b}}\theta ))}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4287d795f5c25fd8d2f501c7ca9438f2142b1de)
![{\displaystyle {y^{,}}^{2}=(a-b)^{2}(cos^{2}\theta -2cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )+cos^{2}({\frac {a-b}{b}}\theta ))}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cff876831ded84dd15764c85425b9923bf25af9)
![{\displaystyle {x^{,}}^{2}+{y^{,}}^{2}=(a-b)^{2}[2+2[sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )-cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5194f32cd3e864030efb3ed264a0f5236d009fc)
![{\displaystyle 2(a-b)^{2}(1-cos(\theta +{\frac {a-b}{b}}\theta ))=4(a-b)^{2}{\frac {1}{2}}(1-cos({\frac {a}{b}}\theta )=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8c5c521315e716f1fc1621da2c161411169b95)
![{\displaystyle 4(a-b)^{2}sin^{2}({\frac {a\theta }{2b}})}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2041a960b43558f51b69e9a370f6562e31da733d)
- Na osnovu ovoga dobijamo da je dužina luka jednog svoda hipocikloide:
![{\displaystyle L^{,}=\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{\sqrt {{x^{,}}^{2}(\theta )+{y^{,}}^{2}(\theta )}}d(\theta )=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9d8b54d3b09ec97fd4d8ae57252d846db03309)
![{\displaystyle 2(a-b)\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{sin({\frac {a\theta }{2b}})}\ d(\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7357531d72cb7030a96d3ee5d60b99781014cd)
![{\displaystyle {\frac {4b(a-b)}{a}}(1-(-1))={\frac {8b(a-b)}{a}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3db31d808bb922f2aa89f0f2997c4c2e4593fc)
![{\displaystyle L_{h}=s{L^{,}}_{h}={\frac {a}{b}}*{\frac {8b(a-b)}{a}}=8(a-b)=8b(s-1)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebe5d71e231b9b6cfad797916c790bc80ece7d4)
- Povr��ina hipocikloide je
![{\displaystyle \pi b^{2}(s-1)(s-2)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028ef9ae9ac1080abd9e2c7c33d5a521f661f471)
- gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti stalnog kruga poluprečnika a i
je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Koristićemo Grinovu teoremu
![{\displaystyle xy^{,}-yx^{,}=[(a-b)cos\theta +(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )][(a-b)cos\theta -(a-b)cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]-}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb9d2d82d4ec961d595f663df9fc14d90a9ebd0)
![{\displaystyle [(a-b)sin\theta -(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )][(a-b)sin\theta +(a-b)sin({\frac {a-b}{b}}\theta )]=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc910b9dd552ebce8b61ba8730f3e798c87276a9)
![{\displaystyle ((a-b)^{2}-b(a-b))[1+sin\theta sin({\frac {a-b}{b}}\theta )-cos\theta cos({\frac {a-b}{b}}\theta )]=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/486568a33a8959203c447432932adc2dfa61ae77)
![{\displaystyle ((a-b)^{2}-b(a-b))[1-sin(\theta +{\frac {a-b}{b}}\theta )]}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f5289ffd97cc5ed346c0d8c457b1c9bc0fa946)
![{\displaystyle P=\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{xy^{,}-yx^{,})}\,d(\theta )=(a^{2}-3ab+2b^{2})\int _{0}^{\frac {2\pi b}{a}}{sin^{2}({\frac {a\theta }{2b}})}\,d(\theta )=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cedd25cef2e267fee0204f64e58f6a802de665a9)
![{\displaystyle (a^{2}-3ab+2b^{2}){\frac {2b}{a}}[{\frac {1}{2}}{\frac {d\theta }{2b}}--{\frac {1}{4}}sin({\frac {a\theta }{2b}}]=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052f529dd67dcc16ce0986b775fb2eaf214ee768)
![{\displaystyle \pi b{\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{a}}=\pi {\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{s}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4a7301def28f2774ec79acdee697a84de853ba)
- Iz
proizlazi
![{\displaystyle P=sP_{h}=s\pi {\frac {(a^{2}-3ab+2b^{2})}{s}}=\pi (a^{2}-3ab+2b^{2})=\pi b^{2}(s-1)(s-2)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c226c85a74f5e75d521733f6382dca8db8fb489e)
- U slučaju kada je
![{\displaystyle a=2;b;=1s=2}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017445358d078abb656c47a7145dd1d171e6bbfe)
- jednačine hipocikloide (dijametra) su
![{\displaystyle x=2bcos\theta }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15356ef1cce80a2762282f0a348afda2ebbbde0)
![{\displaystyle y=0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094f824655138f6b11d96a0da32e7f0716ba6959)
- Tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku kružnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti kružno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.
- Dužina luka te hipocikloide je
![{\displaystyle 8b}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053c886399211fe331377c1e2566a03d3819cc95)
- Za
dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu krivu).
- Njene jednačine su
![{\displaystyle x=2bcos\theta +bcos2\theta }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3862e706ede84e70260fd3e2ab68c2843c9a9131)
![{\displaystyle y=2bsin\theta -bsin2\theta }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9234f90daeafc904ccb0eb552cb7a2ebe852653)
- Deltoida ima zanimljivu osobinu da odsječci njenih tangenti unutar krive imaju konstantnu dužinu tj. jedan stap te dužine bi se mogao rotirati unutar nje stalno je dodirujući.
- Deltoida ima površinu
![{\displaystyle P=2\pi b^{2}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0f035228589902647807ba494d53c7966208fe)
- Dužina luka je
![{\displaystyle L=16b}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1342699b062066e6e5073c5bc2f7cfc92812f45f)
- Za
dobijamo astroidu, sa parametarskim jednačinama:
![{\displaystyle x=3bcos\theta +bcos3\theta =acos^{3}\theta }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948f0f7ec9ef9b771cd7914fe9f5c53f9c07d4e7)
![{\displaystyle y=3bsin\theta -bsin3\theta =asin^{3}\theta }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7cb52df00b8181aa5696c182194f561bc5f7f62)
- Porijeklo imena astroida može se naći u grčkoj riječi (asteri) čije je značenje zvijezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.
- Površina astroide je
![{\displaystyle P=6\pi b^{2}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f72942e9ca96b8c3459b22caff3eeb0b5bbdf)
- Dužina luka je
![{\displaystyle L=24b.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3002814d284cb8d35414433c350849d84e8a50f1)
- Za
dobijamo hipocikloidu
- Mali krug poluprečnika b 10 puta treba da obiđe veliki krug poluprečnika a da bi fiksna tačka došla u početni položaj, tj da bi hipocikloida bila zatvorena.
- Za
![{\displaystyle a=\pi ;b=1;s=\pi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1436465c23c2f98307e480d5060d7c4e5d8bd63)
- Kako je odnos prečnika iracionalan, hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug
do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.
- 1725. god. Daniel Bernuli je otkrio osobinu hipocikloide poznatu kao teorema dvostruke generacije.
- Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug
poluprečnika krečući se unutar istog kruga.
- Ako označimo prvu hipocikloidu sa
a drugu sa ![{\displaystyle {\mathit {H}}\left(a,a-b\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114bbd52e876fbc11ea9d767c700e1ce6f1a4d42)
- na osnovu teoreme dobijamo da je
![{\displaystyle {\mathit {H}}(a,b)={\mathit {H}}\left(a,a-b\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02dae36b58a1bff94964ae3530e9224d5b060c9d)
- Ova dva unutrašnja kruga su komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.
![{\displaystyle x=(a-b)cos\theta +bcos({\frac {a-b}{b}}\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94205bfc7fc6f91b05a2291870308269dff90ef7)
![{\displaystyle y=(a-b)sin\theta -bsin({\frac {a-b}{b}}\theta )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cab3867398c2dca37fa3f9b0e29a2c42bed478e)
- Zamjenom
![{\displaystyle b^{,}=a-b}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0831e2ceecd57ce1bc9d354e07ffa183a43bb1a8)
odnosno
![{\displaystyle \theta ={\frac {a\varphi }{a-b}}={\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ced7348c64f3e844e247d8edcdd13a045be8b59)
- imamo
![{\displaystyle x=b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )+(a-b^{,})cos\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4b35a4907b184897ca34008dd6096764664b02)
![{\displaystyle y=b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )-(a-b^{,})sin\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b007ceb3e6ba9df1d7cb205c3279dfd59a59ce3)
- zamjenom redoslijeda sabiraka dobijamo
![{\displaystyle x=(a-b^{,})cos\varphi +b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527d2e17504ba3479a71a91f16ed89d1ec50cee3)
![{\displaystyle y=-(a-b^{,})sin\varphi +b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\varphi )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730923fbbdd2c647d5ee63f8751741abd41ee064)
- Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete
![{\displaystyle cos(-\varphi )=cos\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6106e0e86011e8104640a1b318ad30d634b005a8)
![{\displaystyle sin(-\varphi )=-sin\varphi }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b642a2ef929fefc9d0e96871f200a4ced208a47a)
- i parametra
sa
dobićemo parametarske jednačine hipocikloide
, koje su potpuno identicne sa pocetnim jednacinama:
![{\displaystyle x=(a-b^{,})cos\omega +b^{,}cos({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\omega )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78777aef5ae5f0638e2e32c27eb1bfaee95f06)
![{\displaystyle y=-(a-b^{,})sin\omega +b^{,}sin({\frac {a-b^{,}}{b^{,}}}\omega )}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da9177f26c8c410223816fc7e36b140a6ae999b)
- Posljedica ove teoreme je
- Istu astroidu možemo dobiti i rotacijom kruga poluprečnika
![{\displaystyle {\frac {3a}{4}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990c4382cc5857da599e092013dc643affdd9d68)
i rotiracijom kruga poluprečnika
unutar fiksiranog kruga poluprečnika a.
- Površina hipocikloide je
(b je poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i
je broj svodova hipocikloide, odnosno
![{\displaystyle P_{h}=K(s-1)(s-2)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828c993fe2432fb4c338ff58538f0fec3dce16f1)
- K je površina kotrljajuće kružnice. Pomoću hipociklogona možemo dobiti formule, čije su granične vrijednosti ekvivalentni sa ovim rezultatima.
- Neka je hipociklogon generisan sa pravilnim petnaestouglim i kotrljajućim petouglom. Površinu hipociklogona možemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvućemo m/n puta površinu koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom hipociklogona. Površina se sastoji od :
trouglova, koji zajedno daju površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa M ), i
kružnih isječaka.
![{\displaystyle {A_{h}}^{q}=M+{\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}\varphi {r_{k}}^{2}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c74546a50e01f50a1b8ae4d850828eb8dc9d28)
je površina k-tog kružnog isječka, a
za
dužine koje spajaju jedno tjeme n-ugla sa ostalim
tjemenima
- Kako je ugao kružnog isječka jednak
, moramo ga smanjiti za spoljašnji ugao m-ugla, tj.
![{\displaystyle \varphi ={\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ef6aec43f145e552bf73df3811d60169126892)
![{\displaystyle {A_{h}}^{q}=M+{\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}}){r_{k}}^{2}=M+{\frac {1}{2}}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}})\textstyle \sum _{k=1}^{n-1}{r_{k}}^{2}=}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f252cd2d3900f4f6c8b7dc383effde4facc1e544)
![{\displaystyle M+{\frac {1}{2}}({\frac {2\pi }{n}}-{\frac {2\pi }{m}})2nR^{2}=M+2R^{2}\pi (1-{\frac {n}{m}})}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95420ea6c257157d889e417ad814f9fe1686fbd2)
- gde je R poluprečnik opisane kružnice kotrljajučeg pravilnog n-ugla.
- Posmatrajmo niz hipociklogona generisanih sa n-uglom koji se kotrlja unutar m-ugla upisan u krug poluprečnika a, tako da se odnos broja stranica
pravilnih mnogouglova ne mijenja. Označimo ga sa
.
- Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla .
- n-ti član generiše pravilan
-ugao koji se kotrlja oko (
v-ugla .
- Niz ciklogona je
,
,
, ...., ![{\displaystyle H^{q}(n,m)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6c800b992c1e0957966455aa07887e6fa3a1be)
- Stranice n-ugla i m-ugla su jednake dužine pa za svaki član niza vazži da je obim nepokretnog mnogougla v puta veća od kotrljajučeg.
- U graničnom slučaju
zbog
. To znači da smo dobili dvije kruznice, takve da je obim prve kružnice v puta manji od obima druge kružnice, tj i poluprečnici imaju odnos
. Sto možemo napisati ovako:
![{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {a}{b}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3166f78e281d16e9815bd0cda74fddb7ce5af59)
- gdje je a poluprečnik kružnice
opisane oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kružnice :
oko pravilnog n-ugla
![{\displaystyle A_{h}=\textstyle \lim _{n\to \infty }[M+2K(1-{\frac {n}{m}})])=K(3-2{\frac {m}{n}})}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c7bb195b6f10d4cb2fc3c907e7b74eeec245b7)
![{\displaystyle s=m:n}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9588c0ae741114e7181a01624062673f2ae6c1)
![{\displaystyle P_{h}=a^{2}\pi -aA_{h}=s^{2}K-sK(3-{\frac {2}{s}})=K(s^{2}-3s+2)=K(s-1)(s-2)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeaf62b9264220d7914d9d96ac3f240eee87b392)
- ^ Kotrljajući hipocikloid
- ^ Hypocycloid