Ortodiagonalni štirikotnik
![](http://178.128.105.246/content-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Orthodiagonal_quadrilateral.svg/200px-Orthodiagonal_quadrilateral.svg.png)
Ortodiagonálni štírikótnik je v ravninski geometriji štirikotnik, v katerem se njegovi dve diagonali sekata pod pravim kotom, kar pomeni, da sta daljici med nesosednjima ogliščema med seboj pravokotni.
Opredelitve
[uredi | uredi kodo]Za vsak ortodiagonalni štirikotnik je vsota kvadratov dveh nasprotnih stranic enaka vsoti kvadratov drugih dveh nasprotnih stranic. Za ortodiagonalni štirikotnik s stranicami a, b, c in d tako velja:[1][2]
To sledi iz Pitagorovega izreka, po katerem lahko vsako od teh dveh vsot kvadratov razširimo v vsoto štirih kvadratov razdalj od oglišč štirikotnika do presečišča diagonal. Velja tudi obratno, vsak štirikotnik, za katerega velja zgornji izraz, je ortodiagonalen.[3]
Posebni primeri
[uredi | uredi kodo]Poseben primer ortodiagonalnega štirikotnika je deltoid, kjer je ena diagonala tudi os simetrije lika. Deltoidi so ravno ortodiagonalni štirikotniki, kjer so vse stranice tudi tangente k včrtani krožnici, oziroma so tangentni ortodiagonalni štirikotniki.[4] Tudi nekateri enakokraki trapezi so lahko ortodiagonalni.
Deltoidi z dvema notranjima nasprotnima pravima kotoma so tudi bicentrični. Za razliko od bicentričnih štirikotnikov obstajajo tudi ortogonalni štirikotniki, ki imajo samo en notranji pravi kot.
Romb je ortodiagonalni štirikotnik z dvema paroma vzporednih (in enakih) stranic, oziroma ortodiagonalni štirikotnik, ki je hkrati tudi paralelogram.
Kvadrat je mejni primer, tako deltoida, kot romba.
Ploščina
[uredi | uredi kodo]Ploščina ortodiagonalnega štirikotnika je enaka polovici produkta dolžin njegovih diagonal in :[5]
Ortodiagonalni štirikotnik ima pri danih diagonalah največjo ploščino od vseh konveksnih štirikotnikov.
Druge značilnosti
[uredi | uredi kodo]- ortodiagonalni štirikotniki so edini štirikotniki pri katerih stranice in kota, ki ju tvorita diagonali, enolično ne določajo ploščine.[2] Dva romba, (katerih diagonali tvorita pravi kot), z enakima dolžinama stranic a in z različnima notranjima ostrima kotoma imata na primer različni ploščini.
- v ortodiagonalnem štirikotniku imata daljici med razpoloviščema nasprotnih stranic enaki dolžini.[1]
- središča kvadratov nad stranicami konveksnega štirikotnika tvorijo oglišča ortodiagonalnega štirikotnika z enakima dolžinama diagonal.
- štirikotnik, ki ga tvorijo razpolovišča stranic ortodiagonalnega štirikotnika, je pravokotnik.
Značilnosti tetivnih ortodiagonalnih štirikotnikov
[uredi | uredi kodo]- naj za tretivni ortogonalni štirikotnik presečišče diagonal razdeli eno diagonalo v dva dela z dolžinama p1 in p2, drugo diagonalo pa na dela z dolžinama q1 in q2. Potem, velja: [6]
- kjer je R polmer očrtane krožnice. To velja, ker sta diagonali pravokotni tetivi krožnice. Srednja vrednost in je enaka . Poleg tega iz enačb a2 + c2 = b2 + d2 = 4R2 sledi, da je v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku vsota kvadratov stranic enaka osemkratnemu kvadratu polmera očrtane krožnice.
- po Brahmaguptovem izreku v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku pravokotnice iz presečišča diagonal na stranice razpolavljajo nasprotne stranice.[1]
- v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku je razdalja od središča očrtane krožnice na katerokoli stranico enaka polovici dolžine nasprotne stranice.[1]
- v tetivnem ortodiagonalnem štirikotniku razpolovišča stranic in presečišča pravokotnic iz razpolovišč stranic na nasprotne stranice ležijo na krožnici s središčem v težišču štirikotnika. Ta krožnica se imenuje krožnica osmih točk.
Sklici
[uredi | uredi kodo]Viri
[uredi | uredi kodo]- Altshiller-Court, N. (2007). College Geometry. Dover Publications. Ponatis 2. izdaje, 1952, Barnes & Noble.
- Harries, J. (Julij 2002). »Area of a quadrilateral«. Mathematical Gazette. Zv. 86. str. 310–311.
- Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009). »Class preserving dissections of convex quadrilaterals« (PDF). Forum Geometricorum. Zv. 9. str. 195–211.
- Josefsson, Martin (2010). »Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral« (PDF). Forum Geometricorum. Zv. 10. str. 119–130.
- Mitchell, Douglas W. (2009). »The area of a quadrilateral«. Mathematical Gazette. Zv. 93. str. 306–309..
- Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996). Challenging Problems in Geometry (2. izd.). Dover Publications. ISBN 0-486-69154-3.